Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
1
V--dlddi ^ +^(т. Ц) = 4' S lOM*. И')] +
-1
+ 5ЁГРо(ц" 1)^ое_т (11.20а)
с граничными условиями
/д(о, Ц) = 0 при 0<р<1,
/d(To,p) = 0 при -1<р<0. (П.^о)
Прежде всего, используя формулу Гаусса (11.18), выразим
интеграл из (11.20а) в виде ряда
1
i
I i4
f \ n')Id(r, = j ? a/Ml*. P-/). (11-21)
-1 j--N
где \i~j = - р/ (рис. 11.4). Подставим (11.21) в (11.20a) и положим в
полученном соотношении р - р,, i = ±1, ±2, ..., ±N:
dl (х \ N
~ dа'х ^1 +1<r(x> Pi) = 4" Y aiPo(Vi' 1А/)Лг(т> P/) +
/-N
+ -trPo( p;.l)7V*. (П.22)
Уравнение (11.22) можно записать в более компактной матричной
форме
¦^ld(x) + Sld(x) = Be~\ (11.23)
232
Глава 11
где Мт) = [/г(т)] - матрица-столбец 2N.X 1, /г(т) =/*(т, ц,),
S = [В,у] - квадратная матрица 2N X 2N, В = [В"] - матрица-
столбец 2N X 1. а элементы Sa и В; определяются выражениями
- прн г=;. а-МЬ')п
и,- 2ц. ^ 1 4лц,
(11.24)
при г /.
в/Ро 0V ^/)
2 Ц.
Строки и столбцы этих матриц расположены так, что индекс i меняется
как (+N, +1, -1, -N) сверху вниз, а ин-
*,.V
Рис. 11.4. Направления, соответствую-
щие JLIу = cos 0^-. Отметим, что =
= - Иу при / = 1, 2 N.
деке / - как (+N, ..., +1, -1, ..., -N) слева направо [что видно в
(11.26)]. Вследствие соотношения симметрии для Ро(ц, цО (11-9)
элементы S;/, расположенные симметрично относительно центра матрицы
S, одинаковы по величине и противоположны по знаку:
Sii = -S_i'_l, = - S_,, _Л (11.25)
В качестве примера запишем (11.23) для случая N = 2:
- h(x) -
" B22
B21
- B_21 B_22 -
гШ -1
d
h (т)
+
S12
Bn
- B_ и - B_ 12
h (T)
dt
/-1 м
B-
12
B_n
- Вц - Bi2
I-lb)
- 1-2 (t)
-
-
B_22
B_21
- B21 - B22 -
- в
2
L/_2(T)-1
В,
В-1
LB_2 J
(11.26)
где учтено соотношение симметрии (11.25).
Общее решение линейного дифференциального уравнения первого
порядка (11.23) дается суммой частного решения 1р(т) и решения
однородного уравнения Ь(т). Частное решение получается подстановкой
ае~
(11.27)
Плоскопараллельная задача
233
где а = (а)-матрица-столбец 2N X 1 с постоянными элементами а,-.
Подставив (11.27) в (11.23), получим
\р (т) = ае~т = (S - U)-1 Ве~х, (11.28)
где Н - единичная матрица 2N X 2JV.
Для решения однородного уравнения
^IC(T) + SIc(t) = 0 (11.29)
положим
1С(1) = №\ (11.30)
где Я - неизвестная постоянная. Подставляя это выражение в
(11.29) , получим
(UJ + S)P = 0. (11.31)
Это матричное уравнение задачи на собственные значения. Для
получения ненулевого решения р определитель матрицы ЯП + S нужно
приравнять нулю:
| XU + S | = 0. (11.32)
Этот определитель есть полином от Я степени 2JV, так что имеется 2N
значений Я - К, п = ± 1, ±2, ..., ±N, удовлетворяющих уравнению
(11.31). Для каждого Ял матрица-столбец р = рл = = [Рл/] определяется из
(11.31). Это уравнение определяет только относительные значения
элементов рi = ±l, ±2, ... ..., rfciV. Величины Ял и р"
называются соответственно собственными значениями и собственными
векторами матрицы S. Вследствие соотношения симметрии (11.25)' pni
удовлетворяют
условиям,
К = -Ь-п, Ря/ = Р-".-|. (П-33)
Формальное доказательство условий (11.33) здесь не дается, но их легко
проверить для примера (11.26).
Общее решение однородного уравнения 1с дается линейной
комбинацией собственных векторов р" с произвольными коэффициентами
Сп:
Ie = Z Спр"лт = z СпР"ЛТ + X с_пР_в<гЧ (11.34)
n= - N n* I
где элементы р_л связаны с рл посредством (11.33). Полное решение 1Дт)
равно
h (т) = 1р(т) + 1с(т), (11.35)
где 1р(т) определяется согласно (11.28), а 1с(т)-в соответствии с
(11.34). Имеется 2N неизвестных постоянных Сп, л =
234
Глава 11
= ±1, ±2, ±N, которые определяются граничными усло
виями (11.206). Подставляя в (11.206) р = р/, получаем следующие 2N
условий:
МО, Р/) = 0, i=l,2, ..N, (11.36а)
Id (т0, [4/) = 0, * ; = - 1, -2, (11.366)
Решение \d (11.35) есть матрица-столбец 2./VX1- Интенсивность часто бывает удобно представлять не как матрицу, а как
непрерывную функцию Id{т, р), зависящую от т и р. Это можно сделать,
записав /(т, р) в виде интеграла:
/ (т, р) = Iri (т, р) + Id (т, р) -
Ini*, Р)+ ^/(т, р)ехр[- для р > 0,
\ I (т, р) ехр [+ (т } для р < 0,
(11.37)
где
i
I ("Г, ц) = Y S р') ld (т> 10 + ~° 4я 1} /гое_т.
Выражая интеграл в /(т, р) по формуле Гаусса и подставляя I в (11.37),
получаем для р >- 0
и (т. С>-^ <"- ¦- е-*) + ? (<*•' - +
п- 1
+? -f-zT (e~v-*'*"*> <iu8>
л-1
и для р < 0
rt=Trirt"'' - ("Т1- '•) +
+E^[^'-"p(iri+^)]+
Л-1
+ ? С7-Х.Г [е~v - "р(пг1 -*-т°)]• <"-39>
л-1
Плоскопараллельная задача ' 235
где
N
Ао (р) = Р° -1} FQ + J ]Г aiPo (Iх" ^ ai'
i N
N N
An (l1) == ~2 GiPo (p> Pi) P/ti> A - n (p.) = Q-lPo (P> Pi) P-ni'
i - - N i = -N
Поток в положительном направлении .F+(T) дается выражением
1
F+ (т) = 2я ^ I (т, р) р dp, (11.40)
о
которое можно записать в виде ряда:
N N
F+(T) = Bte-' + ?спвуп'+ (П-40
Л-1 П=1
где ¦
В0+ = 2яА0 + |] В+ = ? afinpt,
i-i i-i
N
Bln = Yja$-n. Рг
i-1
