Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
углом 0,-, а ось х выбрана так, что плоскость падения совпадает с
плоскостью xz. Показатели преломления среды в областях 2<0,
0<2<dH2>d есть ti\, п2 и п3 соответственно. Типичная задача,
соответствующая этому случаю, - определение интенсивности света в
толще океана при облучении сверху. Тогда 2 = 0 соответствует
поверхности океана, a z = d - дну океана [76].
Для плоскопараллельной задачи часто удобнее использовать
оптическую длину т = рotz в направлении 2, а не оптическую длину в
направлении распространения волны pO(2sec0. Удобно также вместо
угла 0 использовать параметр ц = cos 0.
190
Глава 8
В этих обозначениях ослабленную падающую интенсивность можно
записать в виде
Лч О, И. Ф) = Fa ехр (- ) 6 (ю - <*>0), (8.6)
где т = рщг, р0 = cos 0q, a Fa = Tl2Fr, Т\2 - коэффициент пропускания
для лучевой интенсивности из среды 1 в среду 2, который дается
выражением (7.18). Через о" и "о обозначены еди-
Среда !(",) Среда 2(п2) Среда 3(п})
Рис. 8.2. Падение плоской волны на плоскопараллельную среду толщины d>
содержащую случайно распределенные частицы.
ничные векторы в направлениях (0, ф) и (0О, фо) соответственно, а
через 6(ю - "о)-дельта-функция по телесному углу, определяемая
выражениями
6 (й - щ) = -б-(0-~ ^ ~ ^ = 6 (ц - ц0) 6 (ф- Фа),
^ 6 (о) - <о0) ^ --б- ~ ~--sin ВйВйф- (8.7)
= ^ 6 & - Ро) б (Ф - Фа) й\1йф= 1.
Вычислим теперь диффузную интенсивность внутри среды,
используя описанное в разд. 8.1 приближение первого порядка. Из рис.
8.2 видно, что интенсивность Id+ для 0 ^ 0 < < л/2(1 ^ р > 0) состоит из
вкладов ослабленной падающей интенсивности от области (0, г), тогда
как /<*_ для л/2 <6^
Приближенные решения для разреженной среды
191
^ л(0 > р ^ - 1) - из вкладов от области (z, d). Подставляя
(8.6) в (8.2) и полагая е(гь s) = 0, получаем
I (г Л\ f pYn Г (Т-Т,) Т, -1
pill, ф- Но, 0) р rfT, _
/а+(т, р, <?>)-} ex р[ - -j ^ F0~ -
о
, ехр Г 1-Л - ехр Г -^
V.-M) ^ <8-8>
Ti
II f ,."Г (Т -Ti) т, 1
р(ц, Ф\ Цо, 0) " rfr,
/а- (т, Ц, А = \ ехр [ -
j -^ F0 =
t
/ т Л Г Т0 1 т0-т1
р (р, 0; Но 0) ехр I Но/ eXPL Но Н J р
п
= 4Й (iTT^lo -1<Ц<0.
(8.9)
где т - porz, то = potd, р = cos 0, р0 = cos 0о.
Диффузная интенсивность, рассеянная вперед, Id+ равна нулю при z =
0, увеличивается с ростом z и достигает максимума при
!п н - 1п Но /о 1
т"~ 1/н"=гТ7и (8Л0)
независимо от индикатрисы рассеяния р(р, ф; р0, фо)- При 0 = = 0о
величина Id+ равна
г /_ .. лч Р (Но, Ф\ Но. 0) т ехр(-т/Ho)
о /оич
U+ (т> N. Ф) = 4^ - с0 (8.11)
н достигает максимума при т = р0.
Диффузная интенсивность вне среды может быть легко получена с
помощью соотношений (8.8) и (8.9). Для z>d диффузная интенсивность
Id равна T23Id+(d,6, ф), а для z<0 диффузная интенсивность есть T2\Id-
(0, 0, Ф), где Т2з и Т2\-определенные в разд. 7.2 коэффициенты
пропускания лучевой интенсивности из среды 2 в 3 и из 2 в 1
соответственно.
Часто особый интерес представляет диффузная интенсивность для
случая, когда содержащая частицы среда является полупространством z
<С 0. Соотношение, выражающее угловую зависимость отраженной
диффузной интенсивности, называют законом диффузного отражения.
Эту угловую зависимость обычно выражают через угол отражения 0,- =
л - 0. Используя cos 0, = = щ = - р, получаем
W=P("-^"-0) (т^-) (8.12)
что дает приближение первого порядка ([31], разд. 47.1) для закона
диффузного отражения.
192
Глава 8
В данном анализе мы пренебрегли вкладом от отражения на задней
поверхности г = d. Если эта поверхность сильно отражающая и гладкая
с коэффициентом зеркального отражения R, то к правой части (8.9)
нужно добавить следующую диффузную интенсивность:
р (р, Ф\ - Но, 0) ехр [(т0 - т)/р] - ехр [- (т0 - т)/р0] п п ""-("ДоЧ 4я (-1)(ц + ц0) ^
0 *4 Ро )'
(8.13)
- 1 < ц < 0.
Если поверхность г - d сильно диффузна, так что отраженная
интенсивность почти равномерно распределена в пределах телесного
угла 2л, то к (8.9) нужно добавить диффузную интенсивность
/i== "^!Lexp(--g- + -b^L)1 - 1 С ,* <
0, (8.14)
где Rd - альбедо поверхности, определяемое отношением nl'd/VoFo.
Эта ситуация часто встречается в случае песчаного дна океана [76].
Заметим, что полная отраженная мощность равна пГа (интеграл от р./^
по телесному углу 2л).
Рассмотрим теперь мощность, получаемую приемником с телесным
углом приема Дш = ДрД</>, где |До| -С 1. Если лучевую интенсивность
записать в виде
I Ох, ф) = F6 (ш - щ) -f Id (р, ф), (8.15)
то принимаемая мощность PR будет равна
РД = Р + Дш/ЛР. Ф). (8.16)
где р и ф ограничены интервалами
Ро - Др/2 < р < Ро + Др/2, фо - Аф/2 < ф < ф0 + Аф/2. (8.17)
При значениях р и ф, лежащих вне интервалов (8.17), прини
маемая мощность PR равна Дю/Др, ф).
8.3. Падение коллимированного пучка на
плоскопараллельную среду
В некоторых практических ситуациях падающую волну можно
представить в виде узкого коллимированного пучка. Примером может
служить определение концентрации бактерий в жидкости с помощью
