Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
+1 R± I2).
Теперь нужно определить, чему равно отношение It/It. Из рис. 7.8
видно, что для того, чтобы связать I, и /" нужно учесть связь da\ и Лог-
Поток мощности, падающий на малый элемент поверхности da на
границе раздела, должен быть равен сумме отраженного и прошедшего
потоков:
I[ da cos 0i da>i = lr da cos 0i dai + It da cos 02 da2. (7.15)
172
Исава 7
Заметим, что don = sin 0j dQ\ dq>i и dco2 - sin 02 d02 ^фг. Из закона
Снеллиуса п\ sin 0i = n2 sin 02 получаем ri\ cos 0i dQ\ = = П2 cos 02 rf02
и, замечая, что dip: = d<p2, находим
1L Ад.
"2 = "2
h_
*2
'
(7.16)
Мы можем выразить соотношение между It и It, используя коэффициент
пропускания по мощности Тр и коэффициент от-
da2
Рис. 7.9. Лучевые интенсивности /j и
/2 в двух точках на луче.
ражения по мощности Rp, которые определены как отношения
прошедшей и отраженной мощностей к мощности, падающей
по нормали к поверхности:
Пг COS 02 , rp 12 п 1 Г) 12 _j_ у
___ J
"I COS Ui
(7.17)
Из (7.14), (7.16) и (7.17) имеем
fin tin
Л=4О-ЯР) л=-§
Т I
¦
1 р' I
В (7.18) величина |Г|
равна
1
П'2 COS
02 пI COS
0[
гр/,.
(7.18)
или | 7*х 12 в зависимости от
поляризации или равна (| Тц р + | Т± |2) для неполяризованной волны.
Если показатель преломления медленно меняется вдоль одной из
координат: n(r) = n(z), то отношение лучевых интенсивностей в двух
точках п и г2 вдоль луча может быть получено обобщением (7.15) и
(7.16):
I
da, cos 0. do
I uwi
da2 cos 02 dio2
(7.19)
где da.\ и da.2- поперечные сечения трубки лучей в точках п и г2,
перпендикулярные оси г (рис. 7.9).
Теория переноса излучения й случайном облаке частиц
7.3. Дифференциальное уравнение для
лучевой интенсивности
В предыдущем разделе мы определили лучевую интенсивность и
другие фундаментальные величины. Мы рассмотрели также
характеристики лучевой интенсивности в свободном пространстве и на
границе двух однородных сред. В данном разделе мы изучим основные
характеристики лучевой интенсивности в среде, содержащей случайные
частицы. Такие частицы рассеивают и поглощают энергию волны, и эти
характеристики должны учитываться в дифференциальном уравнении,
которому удовле-
Рис. 7.10. Расстояние лучевой интенсив-
ности, падающей на объем ds, с напра-
вления s' на направление s.
творяет лучевая интенсивность. В теории переноса излучения это
уравнение называют уравнением переноса. Оно тождественно уравнению
Больцмана, используемому в теории переноса нейтронов.
Рассмотрим лучевую интенсивность /(г, s), падающую на
цилиндрический элементарный объем с единичным поперечным
сечением и длиной ds. Объем ds содержит pds частиц, где р - число
частиц в единице объема, называемое плотностью числа частиц. Каждая
частица поглощает мощность са1 и рассеивает мощность osI, поэтому
уменьшение лучевой интенсивности dl{г, s) в объеме ds выражается в
виде
dl (г, s) = -¦ р ds (оа -f- Gs) I = - р dsotI. (7.20)
В то же время лучевая интенсивность должна возрастать вследствие
рассеяния в направлении s части лучевой интенсивности /(г, s),
падающей на данный объем с других направлений s' и добавляющейся к
интенсивности /(г, s) (рис. 7.10). Чтобы определить этот вклад,
рассмотрим волну, которая падает на частицу в направлении s'.
Плотность падающего в малом телесном угле dw' потока S, = /(г, s')rfco'.
Этот поток падает на частицы
174
Глава 7
в объеме ds. Плотность потока мощности Sr для волны, рассеянной
единичной частицей в направлении s на расстоянии R от частицы, дается
выражением S,= [|/(s, s') |2//?2]S,-, где f(s, s')- амплитуда рассеяния,
определенная в разд. 2.1. Поэтому обусловленная Si лучевая
интенсивность рассеянной в направлении s волны равна
SrF = | f (i, s') p St = 1 f (S, I') |2 / (r, s') rffl,'.
Добавив падающий поток со всех направлений s', для лучевой
интенсивности, рассеянной в направлении s частицами из объема ds,
получим
$pds|/.(s, s') |2 / (г, s')dco', (7.21)
4л
где интегрирование выполняется по всем телесным углам ш', чтобы
учесть вклады со всех направлений s'. Мы можем выразить (7.21),
используя фазовую функцию1) p(s, s'):
р (s, S') = ¦f-1 / (s, s'*) I2, ±\p (S, s') dco = r0 = ^ , (7.22)
* 4n
где W0 - альбедо одиночной частицы.
Лучевая интенсивность может возрастать также вследствие
излучения из объема ds. Если обозначить через e(r, s) мощность
излучения единицы объема в единичный телесный угол в направлении s,
то указанное увеличение интенсивности выразится как
dse(г, s). (7.23)
Объединяя вклады (7.20), (7.21) и (7.23), получаем уравнение переноса:
~'ds~ = - р(Т</ (Г' ^ + Дя- \р & ^1 ^ da' + е (7-24)
4л
Левую часть этого уравнения можно выразить также с помощью
оператора градиента или дивергенции:
dI~~l = sV/ (г, s) = div [/(г, s) s], (7.25)
где мы воспользовались тем, что s - постоянный вектор, так что div s =
0.
!) Название "фазовая функция" берет свое начало в астрономии, где оно
относится к лунным фазам. Оно не имеет никакого отношения к фазе волны. См.
