Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
разд. 2.1, а также [162].
Теория переноса излучения в случайном облаке частиц
175
В этом уравнении размеры частиц, а также плотность числа частиц
могут быть различны в разных точках, поэтому pat и р могут быть
функциями г. Расстояние иногда удобно выражать через безразмерный
оптический путь т, определенный как ')
T=^pcr*ds. (7.26)
Оптический путь т = 1 означает, что вдоль данного участка пути поток
мощности уменьшается из-за рассеяния и поглощения, согласно (7.20),
до значения, равного ехр(-1) от падающего потока. Учитывая (7.26),
можно записать (7.24) в виде
^-?*1 = - / (т, S) + -L J р (s, io / (Т, io da' + ] (Т, S), (7.27)
4я
где функция /(г, s) =e(r, s)/pa* называется функцией источника.
Рассмотрим теперь закон сохранения энергии. Запишем левую часть
уравнения (7.24) с помощью дивергенции в виде (7.25), после чего
проинтегрируем обе части (7.24) по полному телесному углу 4л.
Вспоминая определения вектора потока F
(7.4) и средней интенсивности U(г) (7.6) и
используя (7.22),
получаем
div F (г) = - рОд ^ / (г, s) da -f ^ е (г, s) da, (7.28а)
4я 4я
где
?(г)= J e(r, s)rf<o (7.286)
4Я
- мощность, излучаемая единицей объема в единичном интервале
частот (Вт-м-3-Гц"1), а
Еа (г) = раа ^ / (г, s) da = 4npaaU (г) (7.28в)
4Л
- полная мощность, поглощаемая единицей объема в единичном
интервале частот. Заметим, что в (7.28в) оа1 есть мощность, по-
глощаемая одиночной частицей при облучении с интенсивностью /, а
полная поглощенная мощность дается суммированием ой/ по телесному
углу 4л и всем частицам независимо от направления I.
1) В гл. 4-6 мы использовали обозначения у для оптического пути и т- *¦ для
разностей времени. В данной главе, следуя Чандрасекару [31], мы обозначаем
оптический путь через т.
176
Г лава 7
Физически (7.28а) означает, что выходящий из единичного объема
поток F равен мощности, излучаемой единицей объема, минус мощность,
поглощаемая единицей объема. В случае среды без потерь оа = 0 и в
отсутствие источников выполняется закон сохранения потока мощности:
V . F (г) = 0. (7.28г)
7.4. Ослабленная падающая интенсивность,
диффузная интенсивность, граничное условие и
функция источника
Полную интенсивность') часто бывает удобно разделить на две
части: ослабленную падающую интенсивность /г, и диффузную
интенсивность Д.
При прохождении волны через объем V, содержащий рассеивающие
частицы, падающий поток уменьшается в соответствии с (7.20) и
возрастает в соответствии с (7.21). Та часть потока, которая
уменьшается из-за рассеяния и поглощения, согласно
(7.20) , называется ослабленной падающей интенсивностью и
удовлетворяет уравнению
-!-rid(l' S) = - potlri (г- s). (7.29)
Другая часть, которая порождается в среде в результате рассеяния,
называется диффузной интенсивностью (рис. 7.11). Поскольку полная
интенсивность /(г, s) = /ri(r, s)-f-/d(r, s) удовлетворяет уравнению (7.24),
диффузная интенсивность удовлетворяет уравнению
dl, (г, s) ~ per, г ~ ^
_Ё_- = _ рat/d (г, s) + ^ р (s, s') ld (г, s ) е/со' +
4л
+ e,,-(r, s) + e(r, s), (7.30)
где Zri - функция эквивалентного источника:
s) = 7ЁГ \ р ^s' ^ /ri ^г'^ da'> (7-31)
4л
порожденная ослабленной падающей интенсивностью.
Граничное условие на поверхности 5 среды, содержащей много
частиц (рис. 7.11), можно получить, заметив, что диффуз-
') В этой книге /(г, s) всюду обозначает лучевую итенсивность, иногда
называемую просто интенсивностью,
Теория переноса излучения в случайном облаке частиц 177
ная интенсивность порождается только внутри среды. Поэтому нужно
потребовать, чтобы на поверхности среды S отсутствовало диффузное
излучение, входящее в среду, так что диффузная интенсивность на S
всюду должна быть направлена наружу 1). Математически это граничное
условие выражается в виде
Id(г, s) = 0 на S при s, направленном внутрь S. (7.32)
Для неограниченной среды нужно потребовать, чтобы диффузная
интенсивность на бесконечности обращалась в нуль. Это
Рис. 7.11. Падающая интенсивность
ослабленная падаюшая интенсивность
и диффузная интенсивность Id.
условие обсуждается в гл. 11 на нескольких примерах. Уравнение (7.30)
вместе с граничным условием (7.32) составляют полное математическое
описание задачи.
Ослабленная падающая интенсивность может быть коллимированной
или диффузной. Например, падающая волна можег быть сильно
коллимирована в направлении so, как в случае лазерного пучка или
плоской волны. Такую интенсивность называют коллимированной
падающей интенсивностью /С1-. Для излучения, падающего в
направлении So, величину /С1(г, s) можно выразить с помощью дельта-
функции:
Id (г. s) = (ю - й>о), (7.33)
где FQ - плотность потока (Вт- м-2- Гц-1), 6 (со - йо)-дельта
функция по телесному углу (стерад-1), а а и й>о - единичные векторы,
представляющие телесные утлы в направлениях s и So. Например, в
сферической системе координат
X I - - \ б (9 - 90) б (0 - 0О) (t(* - \ J 1
о (со - coq) - ^-д . J о (со - соо) асо -•
