Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
•) Уравнение диффузии, зависящее от времени, имеет вид DVJu - аи - = du/dt,
где D - коэффициент диффузии, а а описывает абсорбцию ([108], разд. 2.4).
А
^ Л
5?-*~п
^ Среда
ДД-
200
Глава 9
суммы нормальной (Fan) и тангенциальной (Fat) к поверхности
компонент:
Fd = Fdnn + Fj. (9.19)
Подставим теперь (9.7) и (9.19) в (9.18) и выполним интегрирование,
используя сферическую систему координат с z - п и х = t:
2л я/2
^ (Fdtt • s) (s • n) da = Fdt ^ ^ sin 0 cos <j> cos 0 sin 6dQd<j> = 0,
231 0 0 (9.20)
2л л/2 '
^ (Fd"n • s) (s • n) da - Fdn ^ ^ cos2 0 sin 0 dQ dj> -
-y- Fdn.
2л 0 0
Тогда граничное условие (9.18) примет вид
у Ud (г,) + ~~4дГ~ ~ 0 на поверхности г=г5. (9.21)
Далее, выразим Fdn в (9.21) через Ud, используя (9.13):
Fan. = п • Fd = - ~~ п • grad Ud (г) + n • Q, (г), (9.22)
где
Qi (г) = ^ tеп (r> s) + е (г, s)] s da.
tr 4л
В отсутствие источников e(r, s) = 0, используя (9.2), запишем Qi (г) = ~
\da' J р (s, s') s dcol Iri (г, s'). (9.23)
tr 4л *- 4л J
Заметим, что если рассеиватели изотропны, то р(s, s') - const, и Qi = 0.
Поэтому Qi описывает влияние анизотропии на картину рассеяния.
Подставив (9.22) в (9.21), получим граничное условие, выраженное
через Ud:
+ = 0, (9.24)
где д/дп - нормальная производная по направлению внутрь среды.
Следует подчеркнуть, что граничное условие (9.24) является лишь
приближенным. Фактически диффузионное приближение, как известно,
само по себе справедливо лишь для области, достаточно удаленной от
границ и источников. Можно получить некоторое представление о том,
насколько приближенным яв
Диффузионное приближение
201
ляется граничное условие (9.24), сравнив его с точным граничным
условием для частного случая. Такое сравнение можно провести для
задачи изотропных рассеивателей, для которой в случае
полубесконечного слоя известно точное решение. Эта задача известна
под названием проблемы Милна. Точное решение ее можно разделить на
две части, одна из которых удовлетворяет диффузионному уравнению
(разд. 12.2 и 12.6). Эта часть удовлетворяет граничному условию
и'^ = ^жим = °- <9-25>
справедливому с точностью до 0,7% в случае, когда альбедо W0 - os/ot
заключено в интервале 0,6 ^ ^ 1. Заметим, что
для изотропных рассеивателей Q, = 0, а константа 2/3ра/г в (9.24)
сводится к 2/Зрot. Эту константу нужно сравнить с величиной
0,7104/раг\^о в (9.25). Ясно, что множитель 2/3 в (9.24) нужно
рассматривать лишь как некоторое приближение и что решение в
диффузионном приближении должно быть справедливо, только когда
альбедо W0 близко к единице и частицы в основном рассеивают, а не
поглощают.
9.3. Падение коллимированного пучка на слой
рассеивающих частиц
В качестве примера применения диффузионного уравнения
рассмотрим случай коллимированного пучка, падающего нормально на
слой со случайными частицами (рис. 9.3).
Рис. 9.3. Падение коллимирован-
ного пучка на слой со случайно
распределенными рассеивателями.
Падающий
пучок
2 = 0
2 = d
Рассмотрим прежде всего диффузионное уравнение (9.16).
Ослабленная падающая интенсивность для коллимированного пучка,
изображенного на рис. 9.3, дается выражением (разд. 8.3)
Ui (г. s) = F0 (р) ехр (- рotz) 6 (<о - (ог),
(9.26)
где /*о(р) - плотность потока (7.33), р - хх -f- t/y, (c) и - единичные
векторы в направлениях s и г соответственно, а
202
Глава 9
б (се-(c)г)-дельта-функция по телесному углу. При этом другие
источники излучения в среде отсутствуют. Поэтому Е{г) = О и e(r, s) =0.
Подставив (9.26) в (9.2) и (9.8), можно выразить член с источниками в
правой части (9.16) через Fо. Заметим, что
Uri (г) = ехр (- per!*),
(9.27)
V • ^ гп (г, s) s rfco - j ~ ^ р (s, z) s d& • V [Е0 (р) ехр (- per, z)J =
4Л 4Я ^
= - (р°Л2 Pfo (Р) ехр (- р atz),
где учтено, что вектор р (s, г) s dсо направлен вдоль оси г.
Подставив (9.27) в (9.16), получим следующее диффузионное
уравнение, применимое к случаю коллимированного падающего пучка:
ЧЮй (г) - %2dUd (г) = - Q (г), и* = 3 (рога) (pcrt,),
F (о) (9.28)
Q (г) = [Зрст*р<7<г + Зро^роур] ехр (- рст^г).
Граничные условия для слоя, показанного на рис. 9.3, даются
выражением (9.24), которое можно записать в форме
Ud(r)-h-^Ud(r) + ^1 = 0 при z==0,
Я п I \
(9.29)
ий (г) + h ? ий (г) - ^ = 0 при z-d,
где h = 2/Зрair и Qi (г) = {asp,/otr) F0 (р) ехр(-patz).
Если средняя диффузная интенсивность Ua(г) найдена, то поток и
диффузную интенсивность можно найти из (9.13) и
(9.7):
Fd (г) = ехр (- р atz) г - grad Ud (г). (9.30)
Для среды с высокой плотностью crs и СЩ в (9.28) - (9.30) нужно
заменить на соответствующие величины, согласно (9.15а) и (9.156).
9.4. Решение для случая плоской волны,
падающей на слой рассеивающих частиц
Случай плоской волны, падающей на слой рассеивающих частиц,
можно проанализировать в рамках теории, развитой в предыдущем
разделе. Для плоской волны Ео(р) в (9.26) переходит
Диффузионное приближение
203
в константу F0, а (9.28) дает
