Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
4я
Подставляя (9.3) в (9.6), получаем с - 3/4л, поэтому диффузионное
приближение для диффузной интенсивности дается выражением
/d(r, в) = Ud(r) + ^ Fd (г) • s. (9.7)
Диффузионное приближение
197
Правую часть (9.7) можно рассматривать, как первые два члена
разложения Id в ряд Тейлора по степеням s-Sf, поэтому второй член в
(9.7) должен быть много меньше первого: Ud Э* |Fd|.
Приступим теперь к выводу диффузионного уравнения, которое
основано на приближении (9.7). Прежде всего проинтегрируем (9.1) по
всему телесному углу 4л и получим общее соотношение, выражающее
сохранение мощности (7.28а):
div Fd (г) = - 4npoaUd (г) + 4лposUri + Е (г), (9.8)
где Uri(r) = ^ Iri (г, s)dco и Е (г) = ^ е (г, s) da. Затем под-
4л 4я
ставим (9.7) в (9.1). В предположении, что фазовая функция р(s, s')
зависит лишь от угла между s и s', получим
s • grad Ud + -^s- grad {?d • s) ==
= - PQtUd - ^ PotFd • s + pasUd + patFd ¦ sp{ + eri + e, (9.9) где e то
же, что в (9.1), a pi дается выражением
Pi =4^ \P(s' (r)')s- s'da' (9.10)
4П
и описывает усредненное рассеяние вперед (s-s' > 0) за вычетом
обратного рассеяния (s-s' < 0) для отдельной частицы.
Часто бывает удобно записывать pi в виде pi - W0Д; здесь Wo -
альбедо единичной частицы, а Д - средний косинус угла рассеяния 0,
даваемый выражением
Д = ^ $P(S> s')p, ^ р (s, s')d<o'^,
(9.11)
где р = cos 0 = s-s'. Заметим, что, поскольку фазовая функция p(s, s')
зависит лишь от угла рассеяния у, мы можем разложить эту функцию в
ряд по функциям Лежандра:
00
p{s, s') = Y, WnPn(cosy), COSY = s-s/. (9.12a)
причем p\ выражается в виде
Pi = -T-. ix = pi/W0 = Wi/3W0. (9.126)
Фазовую функцию часто можно аппроксимировать следующим
выражением, включающим только W'o и Д:
р (р)=ИМ1-Д2)(1 + Д2-2ДрГ3/'. (9.12B)
198
Глава 9
Это формула Хени - Гринстейна, которая часто используется при
описании рассеяния на кровяных тельцах [125] и облаках [38,65].
Умножим обе части (9.9) на s и проинтегрируем полученный
результат по полному телесному углу 4л ')
grad Ud = - pa, (1 - р{) Fd +
+ S 6r' (r> s)s da + S6 *d(0¦ (g-13)
4jl 4.Л
Величина ст* (1-p\) называется транспортным сечением otr [11]. Оно
показывает, что если рассеяние анизотропно, то эквивалентное полное
сечение уменьшается па множитель 1 - р\ по сравнению с изотропным
случаем. Транспортное сечение можно записать также в виде
fffr = сг* (1 - рО = crs (1 - Д) + оа. (9.14)
Как показано в (3.33), с ростом плотности числа частиц эквивалентное
сечение рассеяния уменьшается на множитель 1 - Я, где Я -
отношение объема, занимаемого рассеивателями, к полному объему. Это
отношение, выраженное через плотность числа частиц р и объем
единичного рассеивателя Vе, равно величине pVe, так что
as->os(\-H). (9.15а)
При этом транспортное сечение otr для среды с высокой плотностью
определяется выражением
^r-^ors(l - Я)(1 - Д) + ста. (9.156)
Уравнение (9.8) выражает div Fd через Ud, а уравнение
(9.13) - grad Ud через Fd. Исключим Fd из этих двух уравнений,
выразив Fd из (9.13) и подставив его в (9.8). В результате получим
следующее дифференциальное уравнение для Ud-
\2Ud (г) - %2dUd (г) = - 2,paspatrUrl (г) - ^ potrE (г) +
+ V ' S е'г (r> s> s da + 1У V S 8 <r' s> (r) da' (9-16)
4я 4JT
где %^ = 3paapat . При высокой плотности среды as и Otr в
(9.16) определяются выражениями (9.15а) и (9.156). Уравнение
') Для любого вектора А имеем
^ s (s-A) da = А и ^ s [в • grad |А • s)] da - 0.
4л 4я
Диффузионное приближение
199
(9.16) есть основное диффузионное уравнение в стационарном случае1)
для средней диффузной интенсивности Ud(г) и вместе с граничным
условием, которое мы рассмотрим в следующем разделе, дает полное
математическое описание диффузионного приближения. Если диффузная
интенсивность найдена, то поток Fц можно вычислить с помощью (9.13).
9.2. Граничные условия
Точное граничное условие для диффузной интенсивности /,- состоит
в том, что на поверхности рассеивающей среды диффузная
интенсивность, входящая в среду снаружи, должна быть равна пулю
(7.32):
Jd (г, s) = 0 при s, направленном внуть среды. (9.17)
Но, согласно диффузионному приближению, /Дг, s) пмеег простую
угловую зависимость, определяемую выражением (9.7),
Рис. 9.2. Направления п и s для гра
ничного условия (9.18).
а в диффузионное уравнение входит единственная скалярная функция
Ud(г). Вследствие такого приближенного представления граничное
условие (9.17) не может удовлетворяться точно, и нужно рассмотреть
некоторое приближенное граничное условие. Одним из таких
приближений является условие, что на поверхности среды полный
диффузный поток, направленный внутрь, должен обращаться в нуль:
^ Id (г, s) (s • n) d(r) = 0, (9.18)
2л
где п - единичный вектор нормали к поверхности, направленный внутрь
среды, а интегрирование проводится по полусфере s-n > 0 (рис. 9.2).
Условие (9.18) может быть выражено через одну лишь среднюю
интенсивность Ud. Для этого запишем сначала Fd в виде
