Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
лазерного луча [107, 141, 171]. Другой пример - лазерный или
высокочастотный ультразвуковой пучок в океанской воде, содержащей
органические и неорганические частицы [76].
Приближенные решения для разреженной среды
193
Рассмотрим коллимированный пучок с гауссовым изменением
интенсивности в плоскости, перпендикулярной к направлению
распространения. Предположим, что такой пучок падает нормально на
плоскопараллельную среду (рис. 8.3).
Рис. 8.3, Падение гауссова
пучка на случайно распре-
деленные частицы в слое
толщины d.
2 Ж0
Лучевая интенсивность при 2 = 0 равна
2р2 '
wl
7(г = 0, р, s) = F0 ехр
("f)
н>
(8.18)
где W0 - размер пучка1), a Fo - его интенсивность. Угловая
зависимость в (8.18) аппроксимируется дельта-функцией 8(б>). Ниже
будет показано2), что лучевая интенсивность есть фурье- образ функции
взаимной когерентности, и точная лучевая интенсивность
коллимированного пучка дается выражением
/(2 = 0, р, s) = Ро ехр (
2f
H
W
l
k2w20 sin2 e
(8.19)
где 0 = arc cos s-z, a k = 2лД - волновое число. Более полный анализ
выражения (8.19) будет дан ниже. Однако на малых расстояниях при
z<nWljk выражение (8.18) дает хорошее приближение к (8.19), поэтому
в данном разделе мы используем (8.18).
Используя выражение (8.18), получаем следующее выражение для
ослабленной падающей интенсивности /гц
lTl (г, s) = F0 ехр ^ - рсг,2 j б (Si).
(8.20)
*) Обозначение И70 для размера пучка не следует путать с альбедо одиночной
частицы в (7.22).
2) См. (13.8в) и разд. 14.7. Заметим, что в (8.19) равно 2W2 в (13. 8в).
194
Глава 8
Полная проходящая мощность при г - 0 дается выражением
ОО оо
5 йГлг J dy $</(c)/" (г, 's) = jnWoFo. (8.21)
- 00 -оо
Диффузную интенсивность легко вычислить, подставляя
(8.20) в (8.2). Например, величина /d+, показанная на рис. 8.3, для
точки (х,0, г) и направления (0,0) равна
Id+ = jj ехр [- рщ (2 - Z\) sec 0] (-^~-) Р (0. 0; О, 0) F0 X
О
Хехр(- ^г- po^ijrfZiSecB, (8.22)
где xi = Хо + z\ tg 0. Этот интеграл можно выразить через функцию
ошибок.
Это решение использовалось при определении концентрации
бактерий методом оптического рассеяния [107, 141].
Глава 9
Диффузионное приближение1)
В.гл. 8 мы рассмотрели приближение первого порядка теории
многократного рассеяния, применимое в случае разреженной среды. В
общем случае это приближение справедливо только тогда, когда
объемная плотность, равная отношению объема, занятого частицами, к
полному объему среды, значительно меньше 0,1%. Если же объемная
плотность много больше 1%, то относительно простые и хорошие
результаты даются диффузионным приближением. При объемной
плотности порядка 1% ни приближение первого порядка, нн
диффузионное приближение не могут быть справедливы, и нужно решать
полное уравнение переноса. В данной главе мы рассмотрим вывод
диффузионного уравнения из уравнения переноса, а также некоторые
решения для плоскопараллельиой задачи. Диффузионное приближение с
успехом использовалось для анализа волоконнооптических окси- метров
при исследовании крови [78, 79, 126].
9.1. Вывод диффузионного уравнения
Как мы уже указывали в разд. 7.4, интенсивность излучения в
случайно-неоднородной среде можно разделить на две части:
ослабленную падающую интенсивность /м- и диффузную интенсивность
Id- Для заданной падающей волны /г,- легко вычислить. Диффузная же
интенсивность должна удовлетворять уравнению переноса [уравнение
(7.30)]
где Bri - эквивалентная функция источников, связанная с ослабленной
падающей интенсивностью /п:
- patId (г, s) + \^р (s, s') Id (г, s') diо' +
4л
+ егДг, s) + e(r, s'), (9.1)
fir* (r> s) = S P ^Iri ^ ^
4я
a e (r, s) - функция источников.
') Более подробное обсуждение диффузионного приближения см. в книгах [11,
108].
196
Глава 9
В диффузионном приближении предполагается, что диффузная
интенсивность встречает много частиц и рассеивается на них почти
равномерно во всех направлениях, поэтому его угловое распределение
почти изотропно (рис. 9.1). Но угловая зависимость не может сводиться
к константе, так как при этом поток Fd обращается в нуль и
распространение мощности отсутствует. Поэтому диффузная
интенсивность должна быть немного больше
Рис. 9.1. Диффузная интенсивность
jd (г, s) в диффузионном приближении.
Id =U~ const
для направления полного потока, чем для обратного направления.
Математически мы выразим это, предположив, что Jd(г, s)
аппроксимируется выражением
/d (г. s) ?/d (г) + cFrf (г) - s, (9.3)
где с-константа, Fd(r) -вектор диффузного потока, ориенти
рованный вдоль единичного вектора sf и определяемый выражением
Fd(г) = ^ 7d(r, s) s d(o = Fd(r) sf, (9.4)
4я
a Ua(r)-средняя диффузная интенсивность, которая пропорциональна
плотности энергии (7.7):
ud(r) = -^ 5 /d(r, s)??(D. (9.5)
4я
Представление /d (г, s) в виде (9.3) схематически изображено
на рис. 9.1. Константу с в (9.3) легко найти, заметив, что
Fd (г) = Fd (г) Sf = ^ Id (г, s) s • sf diо. (9.6)
