Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
элементов (/j, /г, U, V), а Р - матрица размера
184
Глава 7
4X4, называемая фазовой матрицей и связывающая параметры Стокса
падающей волны I (г, s', t') с параметрами Стокса рассеянной волны,
определенными для направлений s и t. Через e(r, s, t) обозначены
параметры Стокса источника, которые описывают излучение в
единичном телесном угле вблизи направления s.
Фазовую матрицу P(s, t; s', t') можно выразить следующим образом.
В разд. 2.12 мы ввели матрицу Стокса o(s, х; s', х), связывающую
параметры Стокса рассеянной волны Is(s, х) с параметрами Стокса
падающей волны I,(s', х), причем плоскость, определяемая векторами s и
s', называется плоскостью рассеяния, а ось х перпендикулярна этой
плоскости. Для монохроматической волны эти величины сводятся к
плотностям энергии рассеянной и падающей волн (Вт/м2). Мы можем
определить параметры Стокса для лучевой интенсивности (Вт-м_2-сте-
рад~'-Гц-1) для цилиндрического объема с единичным сечением и
длиной ds, содержащего рds частиц. При этом можно записать
Is (s, х) = р dsa(s, х; s', х) I* (s', х), (7.49)
где Ь и I/ - параметры Стокса для лучевой интенсивности. Теперь нам нужно связать (s', х) с I (s', t'). Такая связь сводится
просто к преобразованию параметров Стокса при вращении осей:
Это преобразование обсуждалось в разд. 2.13:
Ms', ?) = 1(^)1 (S', tO. (7.50)
Аналогично имеем
I (s, t) = L(- ф2) I (s, x). (7.51)
Отсюда следует, что фазовая матрица Р имеет вид
Р (s, t; s', t') = L (- <f>2) a (s, x; s', x) L (</>,), (7.52)
что соответствует повороту от t' к х, рассеянию с направления s' на s и
повороту от х к t.
Мы не будем здесь останавливаться на дальнейших деталях,
поскольку они достаточно подробно описаны в других учебниках. (См.,
например, [31, 136] о представлении матрицы рассеяния для
плоскопараллельной среды с вертикальными и горизонтальными осями
отсчета.)
Теория переноса излучения в случайном облаке частиц
185
7.8. Связь лучевой интенсивности с
вектором Пойнтинга
В разд. 7.1 мы определили лучевую интенсивность как плотность
потока мощности, распространяющейся внутри единичного телесного
угла в диапазоне частот (v, v + c/v). В данном разделе мы дадим другое
определение, которое связывает лучевую интенсивность с полями,
удовлетворяющими уравнениям Максвелла.
Рассмотрим вектор Пойнтинга S для волны в диапазоне частот (v, v +
dv):
S(r,/)=E(r,/)XH(r,0. (7.53)
В каждой точке г этот вектор есть случайная функция времени, и,
поскольку каждая компонента S меняется со временем, конец вектора S
движется случайно. Рассмотрим трехмерное пространство, в котором
ортогональные координаты есть компоненты S, а именно Sx, Sy и Sz.
Пусть IP(S*, Sy, Sz)dSxdSydS2- вероятность того, что конец вектора S
находится в элементе объема dSxdSydSz¦ Используя сферические
координаты (S, 0, ф), где Sx = S sin 0 cos ф, Sy = 5 sin 0 sin ф и S2 - S
cos 0, мы можем записать эту вероятность в виде
W (S,, Sy> Sz) dSx dSy dSz = W (S, 0, Ф) S2 dS da, (7.54)
где da = sin 0 dQ dф. Функция плотности вероятности W удовлетворяет
условию нормировки
оо
5 J w (S, 0, Ф) S2dSda=\. (7.55)
4л О
Теперь мы можем определить лучевую интенсивность /(г, s) как
оо
/ (Г, S) = 5 sw (S, 0, Ф) S2 dS. (7.56)
о
Это означает, что I есть сумма всех векторов Пойнтинга, концы
которых локализованы в единичном телесном угле в направлении S,
определяемом координатами (0, ф).
Средняя интенсивность U дается выражением
ОО
U =~ J da J 5Г (S, 0, ф) S2 dS, (7.57)
4л О
а вектор потока F равен
оо
F = J da J Ss W (S, 0, ф) S2 dS. (7.58)
186
Глава У
Для акустических волн вектор Пойнтинга нужно заменить на S = pV
и воспользоваться приведенными выше соображениями.
Определение (7.56) выражает лучевую интенсивность как
статистическое среднее от случайно меняющегося вектора Пойнтинга и
дает некоторое представление о физической природе лучевой
интенсивности.
Лучевая интенсивность в том виде, в котором она определена в
данной главе, представляет собой средний поток мощности. При этом
флуктуации волны, связанной с этим потоком, не рассматриваются.
Возникает вопрос, имеется ли какая-нибудь связь между лучевой
интенсивностью и волновыми характеристиками поля?
Поскольку уравнение переноса выведено эвристически на основе
энергетических соображений, волновые характеристики поля, по-
видимому, не входят в эту эвристическую картину, за исключением
разве что характеристик рассеяния и поглощения частиц. Однако,
поскольку при вычислении сечений и амплитуд рассеяния
использовалось волновое уравнение, лучевая интенсивность не может
быть найдена без знания взаимодействия полей со средой. В ряде
последних работ рассматривалась связь теории переноса со строгой
аналитической теорией; некоторые аспекты этих интересных разработок
обсуждаются в гл. 14. Там показано, что соотношение (7.57) можно
обобщить, выразив функцию взаимной когерентности как фурье-образ
лучевой интенсивности.
