Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
-§^2 Ud(z) - K2dUd(z) = - Q0exp(- рсг^г), (9.31)
где Q0 = [3pcrspcr^ + Spcrspcr/jlJfo/^. Граничные условия (9.29)
принимают вид
Ud(z) - h-^-Ud(z) + -^~ = 0 при z = 0,
а п (9.32)
Ud (z) + h-fo Ud(z) = ° ПРИ z = d,
где Qi (z) = (as\i/air)F0 exp (-patz) и h = 2/Зрст/г. Общее решение
(9.31) есть сумма частного решения Udp и решения однородного
уравнения Udc. Для того чтобы найти частное решение, поло-
жим
Udp (?) = Л ехр (- potz). (9.33)
Подставляя (9.33) в (9.31), находим
А = - Q0/[(p(T,)2 - "5]. (9.34)
Величина Udc удовлетворяет однородному уравнению
ЗргД,.-х5Щ = 0. (9.35)
так что
Udc (2) = Ci ехр (xdz) + С2 ехр (- ndz), (9.36)
где Ci и С2 -
неизвестные постоянные, которые определяются
с помощью граничных условий (9.32). Подставляя Ud(z) =
= Udp(z) + Udc(z) в (9.32), получаем два уравнения для двух
неизвестных Ci и С2:
С, (1 - ndh) + С2(1 + ndh) = - А (1 + path) - ,
Cj (1 + xdh) ехр (Kdd) + С2 (1 - ndh) ехр (- %dd) = ^9'37^
= - А (I - рath) ехр (- рatd) + ехр (- рatd).
Отсюда легко найти Ci и С2.
Можно показать, что в случае полубесконечной среды
(d-^oo) выполняются соотношения
с,-о. с2-^л<1
+ р(^- Q-^~
{\ + *dh) 2n(l + xd/A)' (93g^ Ud (z) = А
ехр (- рatz) + С2 ехр (- %dz).
204
Глава 9
Поток Fа(г) можно вычислить из (9.30). Более того, если рассеиватели
не поглощают, то оа -¦*¦ 0 и
Fa (2) = - F0 ехр (- рatz) г. (9.39)
Это показывает, что в непоглощающей полубесконечной среде
диффузный поток Fа равен по величине и противоположен по
направлению ослабленному падающему потоку Fri(2) == = F0exp(-
potz)z. Физически это означает, что, хотя падающий поток F0 и
диффундирует в среде, в конечном итоге весь поток F0 рассеивается
обратно и возвращается в направлении -z.
В случае полного отсутствия потерь xd = 0, и (9.35) переходит в
уравнение Лапласа
~Udc = 0. (9.40)
При этом вместо (9.36) решение можно записать в виде
Udc (z) = + С2. (9.41)
Используя граничные условия (9.32), легко найти отсюда решение для
непоглощающих рассеивателей.
9.5. Решение для случая коллимированного пучка
конечной ширины, падающего на слой рассеивающих
частиц
Общее решение (9.28) и (9.29) может быть получено с помощью
функции Грина G(г, г'), удовлетворяющей условиям
\2G (г, г') - %2dG (г, г') = - б (г, г'),
G (г, г') - h G (г, г') = 0 при 2 = 0, (9.42)
G (г, г') + h G (г, г') = 0 при z~d.
Используя вторую формулу Грина
J ["V2n - v\*u\ dV = J [и - v ~\ da, (9.43)
где д/дп - производная в направлении внешней нормали, можно
получить полное решение Ud:
Ud (г) = J G (г, г') Q (г') dV' + J ° (Г' 2hl {Т'] da'> (9-44>
V s
где объем V ограничивается условиями 0 ^ z ^ d и - оо ^ х, у ^ + оо.
Функция Грина в цилиндрической системе
Диффузионное приближение
205
координат с г и г', выраженными через (р, ф, г) и (р', ф', г') со-
ответственно, имеет вид [101]
оо оо
G (r- г'> = Е Е кт м im м
т--ооп-1 л п (9.45)
для р > р'. Для р < р' нужно поменять местами р и р' в
(9.45).
Здесь Кт и 1т - модифицированные функции Бесселя [75],
a Zn(z)-собственная функция, удовлетворяющая граничному условию
(9.42) и имеющая вид
' Zn (z) = sin (knz + v"), (9.46)
где собственное значение kn удовлетворяет уравнению
[gknd = 2hkn/[(hknf-l], (9.47)
а уп= arctg (hkn)• Нормировочный множитель N2n равен
d
Nl=\{Zn(z)fdz, (9.48)
о
а %п связано с kn соотношением
К = Ь2п + *Ъ- (9-49)
Подставив теперь (9.45) в (9.44), мы получим окончательное решение.
Если коллимированный пучок симметричен относительно оси г, то Fо(р)
становится функцией только от модуля р. При этом Ud не зависит от ф,
так что
оо d
Ud (р. г) = 2л jj р' dp' \ dz'Go (р, z; р', z') Q (р', z') +
о о
оо
+ ± 5 р' dp'Go (Р, 2; р', 0) Q, (o', 0), (9.50)
где
G0(p, 2; р', г') = ? Z?(l)Zn2(z'] K0MI0M
при р > р'; при р ¦< р' нужно поменять местами р и р'.
Решение, кратко описанное в данном разделе, использовалось при
определении диффузионных характеристик крови [78, 79, 126] (об
отражении света от крови см. [4]). На основе этой
206
Глава 9
теории была построена модель волоконнооптического катетера,
используемого для спектрофотометрических измерений содержания
кислорода (насыщения кислородом) в крови. Теория сравнивалась с
данными по отражению в катетерах при физиологических вариациях в
крови НЬСО, ЫЬ02 и гематокрита. При этом наблюдалось превосходное
согласие предсказаний теории с результатами эксперимента,
подтверждающее правильность теоретического подхода, развитого в
данной главе [125].
9.6. Диффузия от точечного источника
Рассмотрим диффузию мощности от точечного источника,
локализованного в начале координат в неограниченном пространстве,
содержащем случайные рассеиватели, и излучающего полную мощность
Р0, которая распределяется равномерно по всем направлениям.
Соответствующий такой постановке задачи источник, согласно (7.35),
описывается функцией
6 (г, s) = б (г). (9.51)
Диффузионное уравнение (9.16) принимает вид
(г) - xlUd (г) = ~~ ра1гРпЛ (г), (9.52)
