Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
v
Si (r2) = ^ sin б] ехр (-¦ б2 - /63) р
dV.
v
Следовательно, корреляционная функция флуктуаций уровня в точках
ri и г2 есть
' Вх (fj, г2) = Вх (d) - {i (rj) г (fz)) =
= j J- cos2 6t exp (- 2б2 + f263) p dV. (6.98)
(6.96)
(6.97)
Распространение через разреженное облако частиц 157
После интегрирования по ф находим
л/2
вг (d) = 2яр J sin 0 т I / (0) I2 gx (L, 0) У" {kd sin 0), (6.99)
О
LI cos 0
где gx{L, 0)= ^ cos2exp(- 262) dR. Таким образом, мы
о
пришли к общему выражению для корреляционной функции Bx{d).
Функцию gx{L, 0) можно вычислить точно. Поскольку основной вклад во
флуктуации дает область малых 0, разложим функцию gx (L, 0) в ряд по
0. В результате получим приближенное выражение
gx.(L, 0) = 4[! + ~Р-~ --sin-2P ]. (6.100)
Выясним смысл функции gx{L, 0). Как видно из формулы (6.99),
корреляционная функция получается перемножением под знаком
интеграла индикатрисы рассеяния частицы jf(0)|2 и функции gx(L, 0). Это
означает, что функция gx (L, 0) вырезает некоторую часть углового
распределения (углового спектра) рассеянной мощности. Поэтому ее
можно назвать фильтрующей функцией по углам.
Из выражения (6.100) следует, что функция gx(L, 0) при 0 = 0 равна
(L/2) (1 + cos 2р), а при Q>{X/L)112 она практически совпадает с L/2.
Ширина индикатрисы рассеяния |f(0)|2 примерно равна Х/D, где D -
размер частицы. Поэтому если D намного меньше, чем радиус зоны
Френеля (XL)112, то ширина индикатрисы рассеяния частицы Х/D велика
по сравнению с (Х/L)112, и следовательно, gx(L, 0) в области углов от 0 =
0 до 0= (Х/L)112 мало влияет на флуктуации. В этом случае можно
приближенно принять gx(L, 0) " L/2. В противоположном предельном
случае, когда D велико по сравнению с радиусом зоны Френеля (XL)112,
функцию gy можно аппроксимировать выражением (L/2) (1 + cos 2р).
Рассмотрим часто встречающийся в приложениях случай, когда D >С
(XL)1/2. Тогда приближенно имеем
П/2
Bx(d) = npLJ sin0d0|/(0)|2/o(Wsine). (6.101)
о
При малых по сравнению с длиной волны размерах частиц |f(0)|2
приближенно можно заменить на osf4л и провести интегрирование [101].
В результате получим
Вх {d) = (pesLj2) [(sip kd)/kd}. (6.102)
158
Глава 6
Отсюда видно, что радиус корреляции d л* L Если размер частиц велик
по сравнению с длиной волны, используем выражение
| / (0) р = (apajn) ехр (- арв2). (6.103)
Тогда пределы интегрирования можно распространить на область от 0 до
оо, что дает
Вг (d) = (pasL/2) ехр (- (kd)2/4ap). (6.104)
Отсюда следует, что радиус корреляции порядка размера частиц D.
Дисперсия <х2> флуктуаций уровня определяется выражением
л/2
(Х2) = 2яр J sin 0 /70| / (0) \2 gy,(L, 0). (6.105)
о
Как следует из формул (6.102) и (6.104), при D <g.(XL)112 приближенно
находим
(x2) = porsL/2. (6.106)
Полезно выяснить смысл формулы (6.106). Для этого рассмотрим
интенсивность / = <|"|2>. Из выражений (6.88) и (6.90) получаем
I = I <") I2 (ехр 2%) = ехр (- patL) (ехр 2%). (6.107)
Среднее значение <ехр 2/> связано с дисперсией <%2}. Если пред-
положить, что уровень % имеет нормальное распределение, то получим
(ехр 2%) = ехр [2 ('/) + 2 {(% - <'/))2)]. (6.108)
Поскольку <"f> = <х> + /<Si> = 0, имеем I = ехр (- patL) ехр (2 (%2))
= ехр (- patL + pasL) = ехр (- poaL).
(6.109)
Заметим, что выражение (6.26), отвечающее первому приближению
теории многократного рассеяния, соответствует первому члену
разложения (6.4). С другой стороны, приближение Ры- това (6.109)
приводит к формулам (6.3) и (6.4) и потому его можно считать более
точным, чем первое приближение теории многократного рассеяния.
Заметим, что здесь мы пользовались приближенной формулой (6.106).
Чтобы найти более точное решение, следует исходить из формулы
(6.105). Укажем также, что формула (6.109) основана на предположении о
нормальном распределении флуктуаций логарифма амплитуды. Имеется
довольно много экспе*
Распространение через разреженное облако частиц 159
риментальных и теоретических подтверждений этого предполо-
жения, поэтому его можно считать вполне оправданным.
Рассмотрим теперь фазовые флуктуации. Корреляционная
функция Bs определяется выражением
л/2
В3 (d) = 2лр J sin 0 dQ | / (0) f gs (L, 0) J0 (kd sin 0), (6.110)
0
L/cos 0
где ^S(L, 0)= ^ sin2 6; exp (- 262) dR. Фильтрующая функция
о
по углам gs(L, 0) для фазы при 0 = 0 равна (L/2)(l-cos 2(3),
а при 0 > (К/L)1/2 практически совпадает с L/2. Мы не даем
здесь детального анализа фазовых флуктуаций. Укажем лишь,
что при D "С (XL)1/2 флуктуации фазы и уровня примерно равны:
Bs(d)^Bx(d), (Sf)~(x2). (6.111)
/
6.8. Временная корреляция и частотные спектры
флуктуаций уровня и фазы плоской волны
Временная корреляционная функция Вх(х) флуктуаций
уровня в точке г = (0, 0, L) в два различных момента времени L
и ti получается из формулы (6.98), если положить в ней 6з = 0
и заменить |/|2 выражением (6.27) для fj\ с учетом движения
частиц:
f f*
Вх (т) = ^ cos2 б, ехр (- 2б2) р dV. (6.112)
