Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
длины волны и, следовательно, рассеянное излучение сосредоточено
внутри малого угла 0. В этом случае квадоаг модуля амплитуды
рассеяния можно записать в виде
0
/ (0) Р = К/я) ст5 ехр (- ар02), (6.20)
где ар = 2,77/В2рЬ, а Врь - ширина (в радианах) индикатрисы рассеяния
частицы по уровню половинной мощности [формула (3.9)]. Заметим, что
амплитуда рассеяния большой сферы радиуса а определяется
выражением ') [162]
= h(ka sinQ). (6.21)
Следовательно, ширина индикатрисы рассеяния равна '
0Р* = 1,02 X/D, D = 2a. (6.22)
!) Отметим, что fiS*/k.
Распространение через разреженное облако частиц
141
Подставляя (6.20) в (6.14) и учитывая, что |0| -С 1, получаем
со
&и (d) = рosLe~^ ^ 0 dB2ар ехр (- ар02) /0 (k dB), (6.23)
о
где интегрирование по 0 распространено на область от 0 до оо, поскольку
область 0 ^ 1 дает малый вклад в интеграл. Этот интеграл может быть
вычислен с использованием'формулы
оо
5 ехР (- рВ2) Jq(zB) BdB = -^j-exp (-. (6.24)
о
В результате находим
Ви (d) = pasL ехр [-у - (kd)2/4ap\. (6.25)
Некогерентная интенсивность /,¦ определяется выражением
/г = Ви (0) = posL ехр (- у). (6.26)
Заметим, что если /,• в формуле (6.4) разложить в ряд по степеням
pcrsz, то первый его член совпадет с выражением (6.26).
Из формул (6.19) и (6.25) видно, что если размеры частиц малы по
сравнению с длиной волны, то радиус корреляции порядка длины волны;
в противоположном предельном случае он порядка размера частиц D
(укажем, что (ap)1/2/k ~ D). Приведенные значения радиуса корреляции
применимы в случае приемника, имеющего изотропную диаграмму
направленности (точечный приемник). Ниже мы покажем, что диаграммы
направленности приемника и излучателя оказывают значительное
влияние на радиус корреляции принимаемой волны.
/
6.2. Временная корреляция
и частотный спектр плоской волны
Временная корреляционная функция Ви(т) флуктуационного поля Uf в
точке г - (0,0, L) для двух различных моментов времени t\ и t2
получается из формулы (6.11), если положить ri == Гг и использовать для
fj*2 в случае движущихся частиц выражение
/,Г2 = I / I2 % (к.т) ехр (Л, • ит), (6.27)
где |/|2 = cjd(6, i)-дифференциальное сечение рассеяния, Х(к5т)-
характеристическая функция флуктуаций скорости V/,
142
Глава 6
определяемая формулой (4.49), ks = &(i - 0), U - средняя скорость
частицы, а т = t\ - t2. В результате находим
. .*
BU (х) = iuf (г' О "f (г> Q = S -Jf ехр (- Y0 - у') pdV, (6.28)
v
где у0 и у' определены в (6.7) и (6.14) соответственно.
Рассмотрим сначала случай, когда флуктуации скорости V/
пренебрежимо малы по сравнению со средней скоростью U, так что
%(ksx) = 1. Используя сферическую систему координат (6.12), получаем
я/2 ]
Ви (т) = 2л \ sin 0 dQ ^ ¦ J0 (kUtx sin 6) X
o' *
X exp [ik\lzx (1 - cos 0)] g(y, 0), (6.29)
где средняя скорость U записана в виде суммы поперечной скорости
Ut(Ut- | Uf |) и продольной скорости Uzz, a g(y, 0) определяется
формулой (6.15).
Рассмотрим случай частиц с размерами, намного превышающими
длину волны. Тогда, пользуясь формулой (6.20) и приближенными
равенствами
ехр [ikUzт (1 - cos 0)] " ехр [ikUzx (02/2)], g (у, 0) " у ехр (- у),
(6.30)
получаем
ВЛт) = J^ ехр [-у(6.31)
где А - 1 - i (kUzx/2ap).
Заметим, что если скорость U перпендикулярна оси г (Uz = 0), то
формула (6.31) совпадает с формулой (6.25), если в последней d заменить
на Utx. Такого соответствия между длиной корреляции и временем
корреляции в случае поперечной скорости следовало ожидать, поскольку
поле в точке г в момент t совпадает с полем в точке г + U*x в момент i +
т ввиду того, что частицы за время х смещаются на расстояние U<х.
Рассмотрим теперь временной частотный спектр Ц7ц(<д) при t/" = 0:
Г , , Г Ш Т/а Г ао(r)2 П
Wu (со) = 2 J Ви(х) elm dx = (4pcrsL) [дщуг] ехр [-у - -ущуг\ ¦
(6.32)
Мы видим, что при to = со/ = kUt/(aP)I/2 частотный спектр спадает в е раз
по отношению к своему значению в точке со = 0.
Распространение через разреженное облако частиц
143
Используя (6.20) и (6.22), получаем
со, = 5,29 Uf/D.
(6.33)
Отсюда следует, что уширение спектра приближенно равно Ut/D, и время
когерентности совпадает со временем, за которое частица проходит
расстояние порядка своего размера. Например, капли дождя при
интенсивности выпадения 12,7 мм/ч имеют диаметр 2 мм (рис. 3.3) и
установившуюся скорость 6 м/с (рис. 3.4). Поэтому уширение спектра
составляет примерно 3 кГц.
В некоторых случаях, например при распространении волны в дожде,
капли имеют распределение по размерам n(D) и их конечная скорость
зависит от размера. Это можно учесть, положив в формуле (6.32) Os =
es(D), ар - ар (D) = 2,77/(1,02 h/D)2 и Ut = Ut(D). Тогда получим
6.3. Распространение плоской импульсной волны в
пределах прямой видимости
Рассмотрим характеристики плоской импульсной волны, падающей на
полупространство, заполненное частицами. Предположим, что
излучаемый импульс имеет узкую полосу, сосредоточенную вблизи
