Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
v
Если флуктуационная скорость Vf пренебрежимо мала по
сравнению со средней скоростью U, то, следуя процедуре, ис-
пользованной при получении формулы (6.29), находим
п/2
вх (т) = 2яр 5 sin 0 dQ I f (0) I2 gx (.L, 0) Jo (kUtx sin 0) X
X exp [ikUzx (1 - cos 0)], (6.113)
где Ut - поперечная составляющая U и Uz - составляющая
вдоль оси z.
В частном случае Uz = 0 и D "С (XL)1/2 имеем
pcrsL sin (kUtт) _ ^ ^ ,
"1 ПРИ °^Х'
рasL Г (kUtт)21 ^ ,
(6-114)
-2-ехр L-ta-J при D>x-
ВХ(Х):
140
Глава 6
Частотные спектры для этих двух случаев находятся путем пре-
образования Фурье:
оо
Гх(ш) = 2$ В(х)ешйх. (6.115)
о
При D -С А" получаем [60]
( 2pasL/kUt при со < | kUt |,
z (. о при со > I kUt |. '
При D > К находим
Г ла_ "I'/j Г а"со2 Т
Wt (со) = (2pcrsL) (kUt)2 J ехР[- (kUfYy (6.117)
Резкий скачок в (6.116) связан, конечно, с приближением,
использованным при нахождении Вх(т); более точный расчет должен
давать плавный переход. Во всяком случае, ширина спектра
приблизительно равна \Ut\/% при D <С % и \llt\/D при ?> > А,.
В полученных формулах нетрудно учесть распределение частиц по
размерам n(D). Так, при D -С А" имеем
оо
^W= S ^TulJW±dD' (6Л18)
где Do определяется из условия со = kU(Do). При D " А, находим
г° ( na"{D) )'/, < ап (D) со2 )
WX ~ J 2п W °L { [kUt (Д)]2 } еХр { ~~ [kUt (Л)]2 } dD'
(6.119)
В качестве примера рассмотрим флуктуации в оптическом пучке,
распространяющемся в дожде. Как видно из рис. 3.5, вода практически не
поглощает в видимом диапазоне, а размеры частиц дождя велики по
сравнению с длиной волны. Поэтому приближенно можно считать, что
полное сечение ст< и сечение рассеяния as равны cTf " crs " 2яа2. Кроме
того, в соответствии с (3.6) установившаяся скорость Ut{D) дождевой
капли радиуса a=D/2 приблизительно равна 200,8а1/2 м/с. Воспользуемся
также формулой ар = 2,77/(1,02А,/?>)2. Распределение частиц по
размерам аппроксимируем распределением Маршалла - Палмера (3.2) п
(а) = По ехр (-а а), где га0 = 8-106 м~4, а =>* = 8200 р~°'21 м-1, ар -
интенсивность дождя в миллиметрах в час. Подставляя эти значения в
(6.119), получаем
Г Г-)
У"-to - (6.120)
Распространение через разреженное облако частиц
161
где ap/{kUt)2 - Аа и А = 6,7-10~6. При интенсивности дождя р порядка
1 мм/ч спектр №х(со) при и = [(0,2а)/Л]1/2 спадает в два раза по
сравнению с его значением в точке и = 0. Это соответствует примерно 2,5
кГц.
6.9. Приближение Рытова с учетом направленных
свойств излучателя и приемника
Рассмотрим задачу о распространении в пределах прямой ви-
димости между излучателем, расположенным в начале коорди-
нат (0, 0, 0), и приемником, расположенным в точке (0, 0, L)
(рис. 6.5). Среднее напряжение <Р> на выходе приемника, ко-
торое пропорционально когерентному полю <н(г,/)>, опреде-
ляется выражением
(V (г, /)) = Xgi (4Z^r (Z) ехр (- ^ + ikbj, (6.121)
где gt(z) и gr{z) -диаграммы направленности по полю излуча-
теля и приемника, а у - оптический путь, определяемый форму-
лой (6.8). Заметим, что |g<|2 и |gr|2 - диаграммы направлен-
ности по мощности Gt и Gr, а |<Г)|2 - когерентная мощность,
даваемая формулой (6.7):
I (V) I2 = ^ е~ V.
(6.122)
Флуктуации выходного напряжения V; пропорциональны
флуктуационному полю щ и равны
bgt 0) Sr (0)
" ,л f KBt WgrW Л ? jf\ \ s
Vt{i)= )"4ПRtRt p/(°' >' /)X
Xexpf-^-^ + ^^. + ^ljy, (6.123)
где /(0, i, t')-амплитуда рассеяния частицы, расположенной в точке г', в
момент времени t - R2/c (рис. 6.5). Из формул (6.123) и (6.121) находим
комплексную фазу
, ,л г W'0?"(0)P/(0, i, П Ф (0 = ] ^ ехр
(ц) dV,
v
л = _ Vl±|izJL + ik _ L)> (6.124)
,r, et (ft - gr (o)
gtn (0 r, > gm (0) - •
gt G) gr G)
162
Глава 6
Выражение (6.124) можно упростить, если использовать приближения
(6.52) и (6.56). Поскольку g*n(i) и g ГП (0) - нормированные диаграммы
направленности, имеем
(Г) = ехр [- (у",)0?]. ётп (0) ~ ехР [ (y аг) (r)г]' (6Л25)
где предполагается, что фазы этих диаграмм постоянны. Кроме того,
z' L
(L - z')2 Г 1 Г
Yi + Y2 - Y == -§\ ра' dz + Т \ ра< dz>
о *' (6.126)
г L (L - г') аг
R1 + R2
2г'
Амплитуда рассеяния f(б, i) для неподвижных рассеивателей может
быть записана в виде
f (б, ?) = ехР (- -у-е* + - (6-127)
где р - фаза, а амплитуда выбрана таким образом, что
оо
$|/pdQ = 2n J QpdQp\fr = a3. (6.128)
4я 0
Фаза р меняется от нуля для частиц, малых по сравнению с длиной
волны, до п/2 для частиц, больших по сравнению с длиной волны [162] ').
Рассматривая поведение f вблизи 0Р = 0, приближенно получаем
ар "а 2,66 (Z)/A)2. (6.129)
В случае движущихся частиц из (6.53) находим
[
/ 2 ^ 2 \ ч
- (<Хр + ^?~) вр + ikUx\ ,
(6.130)
где т = /[ - /2 " h - (2.
Подставляя формулы (6.125) - (6.127) и (6.130) в (6.124),
можно найти флуктуации уровня % и фазы Si. Детального анализа мы
здесь не проводим, поскольку он совершенно аналогичен случаю плоской
волны. Следует отметить, что подобно тому, как обсуждалось в разд. 6.4,
