Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
Уа= 1 х 1 X • • • X Y х • • • X 1 (я сомножителей), (17.26)
Z"=-1 X 1 X • • • X Z X • • • X 1 (я сомножителей),
t
а-й сомножитель.
Нетрудно убедиться, что для а=И=р
[Ха- Хр] = [Уа. Yp] = [Za, Z"] = 0,
[Хв, Yp] = [Xa, Z"] = [Ya. Zp] = 0. ( ¦">
Для каждого данного а матрицы Xa, Ya, Za формально удовлетворяют всем
соотношениям (17.25).
Для любой матрицы X, квадрат которой равен единичной матрице, справедливо
тождество
евх = chQ-\- X sh 0, (17.28)
где 0 - некоторое число. Доказательство состоит в следующем. Поскольку Хп
= 1 при четном п и Хп = X при нечетном п,
2 ^ = ch0 + Xsh0.
В частности, (17.28) выполняется порознь для X, Y, Z и Ха, У", Za (а= 1,
2........п).
') Матрицы Xa, Ya, Za известны в квантовой механике. Например, спиновые
матрицы некоторого a-го электрона в системе я нерелятивистских электронов
как раз суть Xa, Ya и Za.
§ I. Построение двумерной модели Изинга
Матрицы Vi, V2 и V3
Формула (17.16) показывает, что Vi есть прямое произведение п
тождественных 2-мерных матриц
V; = aXeX...X", (17.29)
(s|a|s,) = ePe"'. (17.30)
Следовательно,
ГйРе в-Ре-1
"=|е-ре &\= 07.31)
Используя (17.28), получаем
а = /2 sh (2ре) евх, (17.32)
thOEEse-2^. (17.33)
Поэтому
VI = [2 sh (2(3e)f 2 евх X е(tm) X ¦ • . X esx. (17.34)
Непосредственным вычислением матричных элементов можно убе-
диться в справедливости следующего тождества: е"хХевхх Хевх = евх1евхг _
^х" = ее(х, + х2+... + хл) (17 35)
Применяя (17.35) к (17.34), находим
Vi = [2sh(2p8)]"/2Vi. (17.36)
У1=П"вХа. tli 9 = е^2ре. (17.37)
Непосредственное вычисление матричных элементов показывает, что
У1=Ц,"А+1> (17.38)
V3=fl"[iBZa. (17.39)
причем Z"+i = Zi. Следовательно,
Р = [2 sh (2pe)f/2V3V2V,. (17.40)
Если В = 0, то V3=l. Это завершает матричную формулировку
Двумерной модели Изинга.
Г л. 17. Решение Онсагера
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ
Последующее исследование общего класса матриц имеет прямое отношение к
нахождению решения для двумерной модели Изинга в отсутствие магнитного
поля (? = 0).
Пусть 2п матриц Гд(р=1 2п.) определены как набор матриц, удовлетворяющих
следующему соотношению антикоммутации:
(ц= 1.......2 п),
+....................................................2д) (17.41)
Приведем без доказательства следующие свойства набора (Гц) >):
а. Размерность не может быть меньше 2".
б. Если jr^J и [PJ-два набора матриц, удовлетворяющих соотношению
(17.41), тогда существует несингулярная матрица S, такая, что Г\, = ЗГцЗ-
1. Обратное утверждение, очевидно, тоже справед-
в. Всякая 2Л-мерная матрица является линейной комбинацией единичной
матрицы, матриц (которые выбраны 2"-мерными) и всех независимых
произведений ГцГ^, ГЦГ^, . . .
Для п= 1 соотношение (17.41) определяет две из 2-мерных спиновых матриц
Паули, а третья может быть получена как произведение первых двух.
Очевидно, что всякая 2-мерная матрица является линейной комбинацией
единичной матрицы и спиновых матриц Паули. При п = 2 соотношение (17.41)
определяет четыре 4-мерные матрицы Дирака у,г
Возможное представление (Гд) 2"-мерными матрицами таково:
ri = Z" Г2 = Y]
r3=x,z2, г4 = х,у2,
Г5 = X1X2Z3, r6 = X,X2Y3.
Г,Й_1 = Х,Х2 ... Xa_,Za (a=l я),
rSa=X,X2 ... Xe.jYa (a=l П).
(17.43)
Столь же удовлетворительное представление получается, если переменить
местами Х" и Z" ("=1............п). Очевидно также, что, ис-
ходя из представления (17.43), можно получить и другие удовлетворительные
представления произвольной перестановкой индексов у
') Эти общие свойства не являются необходимыми для дальнейшего изложения,
так как мы используем конкретное представление. Общее исследование
соотношений (17.41) проведено Брауэром и Вейлем [38].
§ 2. Математическое отступление
Теперь будет показано, что V] и V2 представляют собой матрицы,
преобразующие один набор (Г^( в другой эквивалентный набор.
Пусть задан определенный набор {TJ и пусть и есть 2"-мерная матрица
линейного ортогонального преобразования
Г' = s W(lvrv,
(17.44)
w|lv суть комплексные числа, удовлетворяющие соотношению
= (17.45)
В матричной форме это соотношение записывается так:
(17.46)
где оу есть матрица, транспонированная по отношению к матрице со. Если
рассматривать Гц как компоненту вектора в 2/г-мерном пространстве, тогда
преобразование с матрицей со представляет собой вращение в этом
пространстве:
-г, -
(17.47)
Подстановка (17.44) в (17.41) показывает, что {Г^] также удовлетворяет
(17.41) в силу (17.45). Следовательно,
r^ = S(co)rilS"1(w), (17.48)
где S (w) есть несингулярная 2л-мерная матрица. Существование S (со)
будет доказано непосредственным построением такой матрицы. Таким образом,
существует соответствие
co*->S(co), (17.49)
которое определяет S (со) как 2л-мерное матричное представление вращения
в 2/г-мерном пространстве. Комбинируя (17.48) и (17.44), получаем
S (со) ГЦЭ-1 (ю) = Ед/,,. (17.50)
Назовем и вращением, a S (со) - спиновым представителем вращения со.
Очевидно, что если со, и со2 являются вращениями, то c^cOj
