Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 112

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 154 >> Следующая

$ 4. Приближение Бете - Пайерлса
рой. Отметим, что v= 1 есть наименьший возможный удельный объем, так как
объем элементарной ячейки решетки принят равным единице. Вид области
перехода показан на Р - 7-диаграмме на фиг. 110.
§ 4. ПРИБЛИЖЕНИЕ БЕТЕ - ПАЙЕРЛСА
Приближение Бете - Пайерлса представляет собой усовершенствование
приближения Брэгга-Вильямса; в этом приближении более точно учитывается
специфика ближнего порядка.
В приближении Брэгга-Вильямса принимается, что N++/l/2yN = = (/V+//V)2,
т. е. не учитывается возможность локальных корреляций между спинами. В
приближении Бете - Пайерлса это соотношение
Фиг. 111. Подрешетка, которая рассматривается в приближении Бете -
Пайерлса.
заменяется другим, более соответствующим истинному положению вещей.
Рассмотрим теперь в общих чертах этот метод. Попытаемся найти более
строгое соотношение между iV++ и N+, фиксируя свое внимание не на всей
решетке в целом, а только на подрешетке, образованной некоторым узлом
решетки и у его ближайшими соседями. Мысленно представим себе эту
подрешетку как "погруженную" вереду, образованную всей остальной
решеткой, совершенно так же, как малый элементарный объем жидкости
считается "погруженным" в среду, образованную всей остальной жидкостью.
Предполагается, что влияние среды на подрешетку описывается одним
параметром, сходным с активностью в жидкости. Соотношение между N++ и N+
для рассматриваемой подрешетки получается на основе эвристических
соображений. В дальнейшем предполагается, что аналогичное соотношение
справедливо для всей решетки.
Обсудим только случай В = 0. Для начала рассматриваем подрешетку,
образованную некоторым узлом решетки со спиновым состоянием д и его у
ближайшими соседями, как показано на фиг. 111. Пусть P(s, п) есть
вероятность того, что п ближайших соседей узла
376
Г л. 16. Модель Изинга
имеют спины, направленные вверх, когда сам узел находится в спиновом
состоянии s. Если s = -j- 1, то P(s, п) соответствует такой конфигурации
подрешетки, в которой имеется п пар (-+ +) и у - п
пар (-|---). Если s = -1, то P(s, п.) соответствует конфигурации,
в которой имеется п пар (+-) и п-у пар (-----------). При данном п
имеется способов приписать у соседям п спинов заданного направления.
Таким образом, предполагается, что
Я(+1, = *"-*>*", (16.48)
Р(- 1, я) = у( ^еРе(1?-2я)гп, (16.49)
где q есть нормирующий множитель, a z вводится для учета влияния среды,
которой является остальная часть решетки. Ввиду сходства
между z и активностью этот метод известен также под названием
квазихимического метода. Для определения q требуем, чтобы
2 tp(+1- + *)]=!• (16.50)
Отсюда получаем
Я= 2 (l'][(ze2t*)n е-^+ (ге-2^)п е№] =
= (ePe-f ze-^f-^(ze^ + e-^-)'1. (16.51)
В соответствии со смыслом величины Я(+1, п) мы можем написать равенства
I±?=*jt= 2/>(+!. п) = ±-(ё&+ге^)\ (16.52)
1±1=-{^ = 12яЯ(4-1р . (16.53)
_vjV у п-о
Эти соотношения выражают L и а через одну переменную Z. Поскольку энергия
решетки зависит от i и о, то, предполагая, что соотношения (16.52) и
(16.53) справедливы по всей решетке, получаем выражение для энергии в
зависимости от одного параметра г. Найденное выражение для энергии можно
использовать затем для вычисления статистической суммы. Это завершает
расчет по методу Бете - Пайерлса.
Вычисление статистической суммы не является необходимым, так как для
получения намагниченности можно воспользоваться другим
§ 4. Приближение Бете - Пайерлса
377
более простым способом. Если величины, определяемые соотношениями (16.48)
и (16.49), интерпретировать как вероятности, то отсюда следует, что
2 ^(+1, п) есть вероятность найги в узле спин, направленный вверх;
- 2 Л) + ^>(-1- п)\ есть вероятность найти среди сосе-
Y л=° дей спин, направленный вверх.
Поскольку эти вероятности ничем более не обусловлены, они должны быть
равны между собой; только в этом случае все паши рассуждения будут
самосогласованными. Поэтому требуем, чтобы
Это условие определяет z. Используя (16.48) и (16.49), находим (е-ре +
zeHe)V = jL[(e-|te + ze(te)Y _|_ (е!)е + ге-Ь)У\ =
= г[(е-РЕ4-геРе)у-' -+ (е^ + ze-Pe)v_1 е_|Ч
z=(l-~^eeT-j ¦ (i6-55^
Решая это уравнение для z, можно получить L п а из (16.52) и (16.53): 7
Y
" (1+г"-^)(1+/) ' Y - 1 "
(16.56)
(16.57)
Внутренняя энергия решетки Изинга в отсутствие магнитного поля дается
выражением
Д-(У,(0, Г)=--Деу(2о -2L+ 1). (16.58)
Остается только решить уравнение (16.55).
Заметим, что
а) "= 1 всегда является решением уравнения (16.55);
б) если z есть решение уравнения (16.55), то 1 /г также
является
решением;
в) замена z на l/z ведет к замене Z на -L\ _
г) z = 1 соответствует L - 0; z = оо соответствует L= 1.
Г л. 16. Модель Изинга
Решение уравнения (16.55) может быть получено графически, как показано на
фиг. 112. Наклон графика правой части (16.55) при z = 1 равен
г (V ^4*,Е ^ Mg ко-)
С (!+"*•)" • (16'5Э) Следовательно, при с<1 имеется только одно решение г
-1. При с > 1 существуют три решения: 2=1, z0, l/z0, из которых 2=1
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed