Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 113

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 154 >> Следующая

отбрасывается, как и в случае решения в приближении
f(z)
Брэгга--Вильямса. Решение 1 /20 не дает ничего нового, так как оно
соответствует простой замене всех спинов, направленных вверх, на спины,
направленные вниз. Оно также не будет рассматриваться. Определим
критическую температуру Тс уравнением
(у-1)е^*тс (l + eW*Tcf
откуда вытекает явное выражение
ьт -
'-InhYH
Для Т > Тс имеем
2=1,
1 = 0,
1
0 =
(16.60)
2(1+е-2|Зе) ¦
§ 5. Одномерная модель Изинга
379
Для Т <ТС получаем
г>1.
(16.63)
L > 0.
В этом случае имеется спонтанная намагниченность. Из термодинамических
функций рассмотрим только удельную теплоемкость, которая, как можно
показать, имеет вид
С, (О, Т) Id еу ( do dL\
^77Г- = Ж1Ги^0'Т^-шЫ-Чт! <16-64>
и в отличие от результата приближения Брэгга - Вильямса не обращается в
нуль при Т > Тс:
С, (О, Т) 2уе2 e-t!kT ____
Nk ~WF (1+е2Е/*02 (Т>Т')¦ ( ' й)
С](0, T)/Nk
Фиг. 113. Удельная теплоемкость в приближениях Бете - Пайерлса и Брэгга -
Вильямса.
В результате более детальных вычислений получаем график, представленный
на фиг. 113. Для сравнения на графике показана также кривая, полученная в
приближении Брэгга - Вильямса.
§ 5. ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА
В одномерной модели Изинга рассматривается цепочка из N спинов, причем
каждый спин взаимодействует только со своими двумя ближайшими соседями и
с внешним магнитным полем. Энергия
380
Гл. 16. Модель Изинга
конфигурации [s,, s2> •••> sn) равна
Е, - - е 2Vi+i-fi2s*- (16.66)
Накладываем граничные условия периодичности
s^+1 = s,; (16.67)
в этом случае топологически наша цепочка представляет собой окружность,
как показано на фиг. 114. Статистическая сумма есть
Q,(B. Г) = 22 ¦ ¦ ¦ 2 ехр [р 2(es*s*+i + Bs*)j , (16.68)
где каждая переменная sk независимо принимает значения ±1.
Фиг. 114. Топология одномерной решетки Изинга.
Статистическая сумма может быть представлена в матричном виде1). Запишем
Qj(B, Т) = 2 2 - --2 MP{p^[es*s*+i + 7S(s* + s*+i)]}.
(16.69)
что эквивалентно (16.68) в силу (16.67). Определим двухрядную матрицу Р
ее матричными элементами
(s|P|s') = eP|B"'+'/,BU+^)l, (16.70)
где s и s' могут независимо друг от друга принимать значения ±1. Выпишем
все матричные элементы этой матрицы:
<+1|РЦ-1> = вР<1!+д).
{- 11Р | - 1) = е$е-вК (16.71)
<+1|Р|-1> = <-1|Р|Ч-1> = *-рв-
¦) Матричная формулировка модели Изинга в общем случае принадлежит
Крамерсу и Ванье [37J.
§ 5. Одномерная модель Изинга
Следовательно, матрица Р записывается в виде Ге3(е+В) ?-Ре Л Р =[*-(*
(16.72)
На основе этих определений можно переписать (16.69) в форме Q,(B, r) =
ss...2(Sl|P|S2>(S2|P|S">...(sJV|p|s1> =
= S <"I I P* I Si) = Sp P'V = *.+ +*.-• (16.73)
где Я+ и %_ -два собственных значения матрицы Р, причем Я+
Тот факт, что Qj есть шпур N-й степени матрицы, является следствием
граничных условий периодичности (16.67).
: одномерной решетке Изинга.
Х± =e.rie|ch фВ) ± Vch2(pS) - 2e-2Pesh2(2pe)]. (16.74)
Таким образом, Я, > для всех В. При N->¦ оо существенно только наибольшее
из собственных значений Х+, так как
ilnQ;(B,r) = lnX+ + ln[l+(yA]^lnX+ при оо.
(16.75)
Свободная энергия Гельмгольца на один спин дается выражением
jfA,(B, T) = - z-kT In [ch (pВ) + Ych2фВ) - 2e~sh2(2pe)J-
(16.76)
Гл. 16. Модель Изинга
Намагниченность на спин есть
ch (РВ) + Ych2 (РВ) - 2е~т sh (2ре) '
(16.77)
Кривые зависимости величины N 1 Mj от В для различных температур
приведены на фиг. 115.
Следовательно, одномерная решетка Изинга никогда не обнаруживает
ферромагнетизма. Причина этого состоит в том, что при любой температуре
средняя конфигурация определяется двумя противоположными и конкурирующими
тенденциями: тенденцией к полной упорядоченности спинов, когда энергия
минимальна, и тенденцией к случайному их распределению, когда энтропия
максимальна. (В целом обе эти тенденции ведут к минимизации свободной
энергии A = U-TS.) В одномерной модели тенденция к упорядочению
оказывается более слабой вследствие недостаточного числа ближайших
соседей.
Для всех Т > О
if МАО, Т) = 0.
(16.78)
Глава 17 РЕШЕНИЕ ОНСАГЕРА
§ I. ПОСТРОЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА Матричная формулировка
В качестве предварительного шага к получению точного решения для
двумерной модели Изинга сформулируем модель в матричном виде. Рассмотрим
квадратную решетку из N - п? спинов, состоящую из п строк и п столбцов,
как показано на фиг. 116. Представим
себе, что решетка увеличивается на одну строку и один столбец, причем
так, что конфигурации (я-(-1)-й строки и (п 1)-го столбца тождественны
соответственно конфигурациям первой строки и первого столбца. Такое
граничное условие придает рассматриваемой решетке топологические свойства
тора, как это представлено на фиг. 117.
Пусть ц0 (а == 1 п) обозначает совокупность всех спиновых
координат а-й строки:
I 2 3 ••• л п + 1 =
Столбцы-> 2 3 ••• л
Фиг. 116. Двумерная решетка Изинга.
Ра=К s2........
Тороидальное граничное условие выражается равенством
(17.1)
lVn = l*i-
(17.2)
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed