Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
причины, рассмотрим подробнее некоторые факты.
Фиг. 125. Потенциал взаимодействия двух атомов Не в зависимости от
расстояния г.
Потенциальная энергия v(r) взаимодействия двух атомов Не, находящихся на
расстоянии г, была вычислент Слэтером и Кирквудом [45], исходя из
электронной структуры атома Не. Они нашли, что
где а =4,64 А, а энергия v(r) выражена в градусах Кельвина. График
функции v(r) показан на фиг. 125.
По наклону dP/dT экспериментальной кривой давления насыщенных паров можно
найти скрытую теплоту испарения жидкого гелия. Экстраполяция
экспериментальных данных показывает, что при абсолютном нуле производная
dPIdT положительна. Следовательно, жидкий гелий обладает неисчезающей
энергией связи на атом при абсолютном нуле. Иными словами, основное
состояние жидкого гелия
Ь(г)
§ I. Х-переход
415
является связанным состоянием системы N частиц, обладающим
самосогласованной равновесной плотностью в отсутствие внешнего давления.
Рассмотрим систему атомов Не при абсолютном нуле в отсутствие внешнего
давления. Наиболее вероятная конфигурация атомов определяется волновой
функцией основного состояния, которая, согласно вариационному принципу,
должна минимизировать полную энергию системы при отсутствии внешних
связей. Следовательно, наиболее вероятная конфигурация полностью
определяется только энергетическими соображениями. Приведем следующее
качественное рассуждение. Хорошо локализованный атом Не должен помещаться
внутри области размером Ах, где Ах мало по сравнению с радиусом действия
потенциала, скажем Ах ^ 0,5 к. Согласно принципу неопределенности, надо
ожидать, что неопределенность в значении энергии (в единицах постоянной
Больцмана) должна быть порядка
Эта величина сравнима с глубиной потенциальной ямы. Таким образом,
локализация оказывается невозможной. То обстоятельство, что никакой
другой инертный газ не остается жидким вплоть до очень низких температур,
объясняется гораздо большими массами их атомов, а то обстоятельство, что
водород, хотя и более легкий, чем гелий, затвердевает при конечной
температуре, связано с сильным взаимодействием между молекулами водорода.
Эти соображения справедливы независимо от статистики и объясняют также,
почему Не3 остается жидким вплоть до абсолютного нуля.
Поскольку потенциальная энергия взаимодействия между атомами Не4
известна, можно формально выписать статистическую сумму для жидкого
гелия. К сожалению, она пока не поддается явному вычислению. Поэтому
взаимосвязь между ^-переходом и конденсацией Бозе - Эйнштейна остается
только возможным предположением.
Проведем приближенное вычисление '), подтверждающее ту точку зрения, что
в жидком Не4 происходит конденсация Бозе - Эйнштейна. Воспользуемся
формализмом теории квантованных полей, изложенным в приложении А, § 3.
Среднее число частиц с импульсом р равно
где ар есть оператор уничтожения частицы в состоянии с импульсом р. Пусть
N - полное число частиц в системе. Критерий конденсации Бозе -
') Эю вычисление выполнено в работе Пенроуза и Онсагера [46].
416
Г л. /8 Жидкий гелий
Эйнштейна записывается следующим образом:
^lim > 0 (конденсация Бозе - Эйнштейна имеется),
lim = 0 (конденсация Бозе - Эйнштейна отсутствует).
Рассмотрим трансляционно инвариантную систему. Чтобы найти правильное
выражение для (л0), определим одночастичную матрицу плотности следующим
образом:
р, (х - у) = N V j ... d3rN'Vn (у, г гл.) (х, г2- гдг),
где {Ч'я}-полная система ортонормированных волновых функций. Используя
квантованный полевой оператор ф (х), можно написать
Pi (х - У) - (4>f (х) ф (у)) = ~ ^ е~1 <р-*-ч-у> (a+aq), р. ч
причем первое равенство получается с помощью (А. 53), а второе равенство
- с помощью (А. 65). Оператор полного импульса равен Р = 2 Рярар-Нетрудно
проверить, что
<|р. v,D = °.
так как, по предположению, [Р, И] = 0. Прямым вычислением находим, что
[Р, ajaq] = (p -q)aj"q. Следовательно, (р-q) = 0 п можно напи-
<eJeq)=epq<"pV
где лр = "рар- Поэтому
Мг)=тЕг~'р'г(пр>
Вследствие осцилляции экспоненциального множителя при г ->со все члены
суммы обращаются в нуль, кроме члена с р = 0. Следовательно,
-^-=Дга р,(г).
Проведем теперь приближенное вычисление (п0) для жидкого Не4 при
абсолютном нуле температуры. Имеем
d'rj ¦ ¦ ¦ dVNW0 (г, г j tN) (0, Г2 rw),
где То - волновая функция основного состояния. Она действительна,
положительна и единственна, как показано в следующем параграфе.
Интуитивно можно ожидать, что эта функция приближенно является
постоянной, кроме случаев "касания" двух атомов Не. В этом случае она
равна нулю. Главная роль притягивающей части потенциала состоит в
обеспечении существования самосогласованной равновесной плотности всей
системы. Разумно предпо-
§ 1. Х-переход
417
дожить, что это не имеет большого значения для нашего рассмотрения, так
как мы считаем, что исследуемая жидкость обладает плотностью, равной
наблюдаемой плотности жидкого Не4. Принимаем, что
W Г2 Г*)==у1.......................Г"}'
