Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
392
Гл. 17. Решение Онсагера
также является вращением. Кроме того,
S ("hob) = S (со,) S (со2).
(17.51)
Изучим теперь некоторые частные случаи вращения со и соответствующие им
представители S (со). Рассмотрим вращение в двумерной плоскости в 2ц-
мерном пространстве. Вращение в плоскости pv на угол 0 выражается
преобразованием
г; = г, ?.=?v),
Г =r(icosO- rvsin0 (p?=v), (17.52)
Г;=Г sin0 + rvcos0 (p?=v),
где 0 - комплексное число. Матрица вращения, обозначаемая через со (ц-v 1
0), записывается в явном виде следующим образом:
cos 0 ... sin 0
co(pv|0) =
- sin 0 ... cos О
He выписанные явно матричные элементы равны единицам на главной диагонали
и нулям во всех остальных местах. Матрица co(pv[0) называется плоским
вращением в плоскости pv. Нетрудно проверить, что
со (pv | 0) = со (vp | 0),
o/(pv|0)co(pv|0)=l. (17-54)
Свойства матриц со и S (со), необходимые нам в дальнейшем при
нахождении решения для модели Изинга, выражаются следующими
леммами ').
Лемма 1. Если со (pv | 0) ¦<-"¦ (0), то
(е)= с?(_8/2) W (17.55)
§ 2. Математическое отступление
Доказательство. Поскольку Г^ГЛ, - - Г\,Г(1 при [х Ф V, имеем (Г^Гу)2 =
Г^Г^Г,, = -1. Воспользуемся тождеством, аналогичным (17.28):
(-6/2) Г Г _ 6 р р . 6
в и v = cos J- r^siny.
Так как (Г(ДрГЛ,) (1\Г^) == (1\Г^) (Г^Г^,) = 1, имеем
g(e/2) r(Arve(-e/2j r^rv gW2) г^г^э/г) rvr^ go/2) (r(1rv+rvrJl) j
Поэтому
SiTv (6) == e<0/4ri*rv. (17.56)
Прямым вычислением получаем
Suv (0) I\Snv (0) = I\ (Хф\х, Хфх),
S^v (0) (0) == Г, cos 0 + Tv sin 0,
Suv (0) rvS;v (0) = Гц sin 0 - Tv cos 0, что и требовалось доказать.
Лемма 2. Собственными значениями матрицы (o(|J.v|0) являются 1 (степень
вырождения 2п-2) и е±ю (невырожденные). Собственными значениями матриц
3^.(0) являются е±1в/2 (степень вырождения каждого равна 2я-1).
Доказательство. Первая часть леммы тривиальна. Вторая часть может быть
доказана путем выбора специального представления для Г Гт, поскольку
собственные значения матрицы S^v(9) не зависят от представления. В
качестве представления и Tv используем (17.43) с переставленными X и Z
Поскольку нумерация в (17.43) не является единственной, мы можем выбрать
в качестве Г(1 и Tv любые две матрицы. Выбор оставшихся 2п - 2 матриц не
существен для доказательства. Выбираем
I\i - ZiX2,
rv=Z,Y2.
Тогда
1у\=х2у2=/г2=1 x(q х 1 х ... х 1.
Поэтому
S^v(0) = cos!-iy\sin| = 1 х m °вя j X 1 X ... X 1 •
Гл. 17. Решение Онсагера
В этом представлении матричные элементы S^v (0) даются формулой
<*, MSBV(0)K ^>=е''е12/2Д\^
Таким образом, матрица S^v(0) диагональна. Диагональные элементы равны
либо eim, либо e~im\ число тех и других одинаково, причем каждое равно
2п~ . Итак, вторая часть леммы тоже доказана.
Лемма 3. Пусть со есть произведение п коммутирующих плоских вращений:
со = со (ар | 0j) со (уЬ | 02) . .. co(|Tv|0"), (17.57)
где {а, р..............[л, vj есть перестановка набора целых чисел
(1, 2......2tl- 1, 2tl\, а 0[ 0" - комплексные числа. Тогда
а) со •*-"• S ("), причем
S(co) = e,-e-/2,r"V-^2,rvr^ ... (17.58)
б) 2п собственных значений матрицы со равны
в) 2" собственных значений матрицы S (со) равны (Ш)(±вх±вг± ... ±ел)
(17.59)
(17.60)
где знаки J-" и "-" выбираются независимо.
Доказательство. Эта лемма является непосредственным следствием леммы 1 и
2 и того факта, что [P^rv, ГаГ^] = 0.
Согласно этой лемме, собственные значения матрицы S (ю) могут быть
непосредственно получены из собственных значений со, если последние имеют
форму (17.59).
Полезность указанных лемм связана с тем обстоятельством, что матрица V2V1
может быть выражена через матрицу S(w).
§ 3. РЕШЕНИЕ ')
В отсутствие внешнего магнитного поля из формул (17.14) и
(17.40) вытекает следующее соотношение:
lim ln Q, (0, Г) == 4-ln [2 sh (2pe)] + lim-lnA, (17.61)
CV->.co N *¦ n->ca n
где
Л есть наибольшее собственное значение матрицы V (17.62) v== ViV2,
(17.63)
и Кауфмана [40]. В своем изложении мы
$ 3. Решение
причем матрица Vi определяется соотношением (17.37), а матрица V2 -
соотношением (17.38). Эти формулы справедливы, если все собственные
значения V положительны и если существует Пт я-11п Л. Нашей главной
задачей является диагонализация матрицы V. Всюду в этом параграфе все
матрицы рассматриваются в некотором определенном представлении.
Выражение матрицы V через спиновые представители
Используя представление (17.42), замечаем, что
IWi = Y0Z0 = /X0 (а=1......п). (17.64)
Из (17.37) сразу же получаем
Vl= П *8Х° = П *-шгЛ-.. (17.65)
Таким образом, Vi является спиновым представителем произведения
коммутирующих плоских вращений.
Из (17.42) получаем также
r2oHlr!tt=X0Z04.,Y0=iZ0Z0+1 (а = 1, .... л-1),
Г,Г2л = z, (X, ... Хя_,) Уя = - /z,z" (X, ... хя). (17-66)
В соответствии с (17.38)
v2=[n^z"Za+-peZ"z-.
Последний множитель коммутирует со скобкой. Поэтому можно написать
V2 = /?Z"Zi [n/EZaZa + l] =е^иг,Г2яПУ'реГ2в+1Г20, (17.67)
где
и = Х,Х2 ... Х". (17.68)
Если бы не первый множитель в (17.67), матрица V2 также была бы спиновым
