Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
состояния определяется только двумя числами. Статистическая сумма системы
может быть записана также в виде
е-цл/ <в, г) = елгр CAve-B) ^ е~2& (еу~в> N+ X
Xll'g(N+, N++)eA{*N++, (16.11)
где g(N+, N++) - число конфигураций, обладающих заданными значениями
(7V+, N4.+), Сумма 2" распространяется на все значения Л7++,
согласующиеся с тем условием, что всего имеются N спинов, из которых Л7+
направлены вверх. Никакого упрощения в расчетах формула (16.11) по
сравнению с формулой (16.2) не дает, так как сама функция g(N+,
сложным образом зависит от своих аргу-
ментов.
§ 2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МОДЕЛИ ИЗИНГА ДРУГИМ МОДЕЛЯМ
Простым изменением обозначений можно в модели Изинга перейти от
ферромагнетиков к другим системам, к которым относятся, в частности,
решеточный газ и бинарные сплавы.
Решеточный газ
Под решеточным газом понимают совокупность атомов, положения которых в
пространстве описываются только дискретным набором координат. Положения
атомов образуют решетку с данной геометрией,
§ 2. Эквивалентность модели Изинга другим моделям 365
причем у каждого узла решетки имеются у ближайших соседей. Любой узел
решетки может быть занят не более чем одним атомом. Фиг. 105 иллюстрирует
некоторую конфигурацию двумерного решеточного газа, причем атомы
изображены черными кружками, а пустые незанятые узлы-светлыми кружками.
Кинетической энергией атомов мы пренебрегаем, предполагая, кроме того,
что взаимодействуют 0 0*0
о • • о
Фиг. 105. Конфигурация решеточного газа.
только ближайшие соседние атомы, причем энергия взаимодействия пары
ближайших соседей есть постоянная - е0. Потенциальная энергия системы
эквивалентна, следовательно, энергии газа, атомы которого располагаются
только по узлам решетки и взаимодействуют посредством двухчастичного
потенциала и(|г; - г;-|), где
|со (г = 0),
- ?0 (г - расстояние между ближайшими соседями), (16.12) О (в
остальных случаях).
Пусть
N - полное число узлов решетки,
Na -полное число атомов системы, (16.13)
Naa - полное число пар ближайших соседей.
Тогда полная энергия решеточного газа равна
Еа = - гоМаа, (16.14)
а статистическая сумма имеет вид
Qo(Na, Т) = -~^а e^Naa, (16.15)
причем сумма 2° распространяется на все способы распределения Na
различимых атомов по N узлам решетки. Если принять объем элементарной
ячейки решетки за единицу, то число N равно объему системы. Большая
статистическая сумма имеет вид
Sа(г. N, Т)= 2 zNaQQ{Na, Т). (16.16)
Уравнение состояния, как обычно, дается формулами pP0 = lln60(z, N, Т),
4=?2^7,Пб<7(2. N' Т^
Чтобы установить соответствие между решеточным газом и моделью Изинга,
положим, что занятые узлы решетки соответствуют узлам со спином,
направленным вверх, а пустые узлы-узлам со спином, направленным вниз.
Тогда УУа-"-*УУ+. В модели Изинга набор чисел
js, Sjу) единственным образом определяет конфигурацию системы.
В решеточном газе перечисление занятых узлов определяет не одну, а Na\
конфигураций. Различие обусловлено тем, что атомы, по предположению,
способны перемещаться из одного узла в другой. Это различие, однако,
устраняется, если условиться о "правильном больц-мановском подсчете"
состояний. Следовательно,
Qo(Ma, Т) = S'"-(W+. N++)etEoN++ , (16.18)
где функция g(N^, N+ f) и сумма 2' идентичны с входящими в выражение
(16.11). Большая статистическая сумма есть
eWP0=Qo{Zt 7-)= 2o*"+ 2i' g(N+, УУ + +)^ол'++, (16.19)
Путем сравнения выражений (16.19) и (16.11) можно получить приведенную
ниже таблицу соответствия между моделью Изинга и моделью решеточного
газа. Таким образом, имея решение для модели Изинга, можно сразу получить
простым изменением обозначений решение для модели решеточного газа.
Модель Изинга
Решеточный газ
§ 2. Эквивалентность модели Изинга другим моделям
367
Решеточный газ непосредственно не соответствует никакой реальной системе
в природе. Однако если устремить постоянную решетки к нулю, а затем
добавить к получающемуся уравнению состояния давление идеального газа, то
модель будет соответствовать реальному газу атомов, взаимодействующих
друг с другом посредством потенциала с нулевым радиусом действия. Поэтому
интересно исследовать фазовый переход в решеточном газе.
Решеточный газ применялся также как модель при описании процесса
плавления кристаллической решетки. В этом случае, однако, постоянная
решетки должна иметь конечное значение. Кинетическая энергия атомов
кристаллической решетки учитывается соответствующим образом. Такая модель
имеет только математический интерес, так как совершенно не очевидно, что
она описывает реальное плавление кристаллической решетки.
Бинарный сплав
Прежде чем переходить к обсуждению модели бинарного сплава, напомним
некоторые основные свойства реального бинарного сплава, скажем р-латуни,
обладающей объемноцентрированной кубической решеткой из атомов Zn и Си.
Элементарная ячейка такой решетки
Фиг. 106. Объемноцентрированвая кубическая решетка Р-латуни.
в полностью упорядоченном состоянии, существующем только при абсолютном
