Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
384
Гл. 17. Решение Онсагера
Конфигурация всей решетки в целом характеризуется тогда набором {р-!,
р"}. По предположению, a-я строка взаимодействует только
с (а-1)-й строкой и (а+1)-й строкой. Пусть Е(р0, рач j) есть энергия
взаимодействия между а-й строкой и (а-(-1)-й строкой. Пусть, далее, Е
(р") представляет энергию взаимодействия спинов
?(р, р') = - е 2
(17.3)
?(ц) = -е2 s*s*+i-5Ss*.
где р и р' соответственно обозначают совокупности спиновых координат двух
соседних строк:
*;!' (17.4,
Тороидальное граничное условие означает, что в каждой строке
sn+1 = Sl. (17.5)
Полная энергия решетки для конфигурации {pj, ..., рл} дается выражением
Б, 1и, Ия] = 2 I?(^. lWi) + ?(pa)l. (17.6)
S 1. Построение двумерной модели Изинга
Статистическая сумма имеет вид
Q,{B. Г) = 2 ¦••2ехр{-рД [?(|ia> ра+1) + ?(ра)]}.(17.7)
Пусть 2л-мерная квадратная матрица Р') определена своими матричными
элементами
(р | Р | р') = е -Р +Е Ml. (17.8)
Тогда
Q,(B, л = 2 ... SMPlPaXMPlPaV • >"|Р|р.) =
^ Мл (17.9)
= S(P.|P"|P.) = Sp рл.
Поскольку шпур матрицы не зависит от представления матрицы, шпур,
входящий в (17.9)2), может быть вычислен в представлении, в котором
матрица Р имеет диагональную форму:
где Х2 Х2п представляют собой 2" собственных значений
матрицы Р. Матрица Рл также является при этом диагональной
с диагональными матричными элементами (X{f. (Х2)П..............(^2л)л.
Следовательно,
<3/(6, Г)=1,(У".
(17.11)
Учитывая (17.8), можно ожидать, что собственные значения матрицы Р в
общем случае будут иметь порядок еп, где п-большое число, так как и ^(р,
р'), и В (р) имеют порядок величины п. Если ?,макс
') Далее все 2,1-мерные квадратные матрицы обозначаются буквами типа Р, V
и т. п.
2) Тот факт, что Q/ представляется шпуром матрицы, связан с условием
(17.2) независимо от выполнения условия (17.5). Другими словами, чтобы
статистическая сумма Q; выражалась как шпур некоторой матрицы, достаточно
только свернуть двумерную решетку в цилиндр. Условие (17.5), превращающее
цилиндр в тор, служит для упрощения диагонализации Р.
25 К. Хуанг
Гл. 17. Решение Онсагера
есть наибольшее собственное значение матрицы Р, то следует ожидать, что
liin -^-ln Хмакс равен конечному числу, (17.12)
Если это условие выполнено и если все собственные значения Ха
положительны, тогда
(^мокс)"<<3/<2Л(?.максГ,
\ In Хиж < р- III Q, < -L Хшкс + -L In 2. (17.13)
Следовательно,
Jim -i-lnQ^ lim In Я,макс> (17.14)
где Л/ = я2. В дальнейшем мы увидим, что утверждение (17.12) справедливо
и что все собственные значения Ха положительны. Таким образом, достаточно
найти наибольшее собственное значение матрицы Р. Оставшуюся часть
параграфа мы посвятим рассмотрению явного представления матрицы Р.
Матрица Р
Из (17.8) и (17.3) можно получить матричные элементы Р в виде <S1 s*|P|sI
= (17.15)
Определим три 2л-мерные матрицы Vb V2 и Vj их матричными элементами:
("1 sjvllsl (17.16)
<", Iv21 s; 6^;ПеР?'л+1' (17Л7)
(Sj sn 1 v31 s; ¦¦¦*,,¦ JJе^к' (17'18)
где bss-- символ Кронекера. Таким образом, в данном представлении матрицы
У2 и V3 являются диагональными. Нетрудно проверить, что
P=V3V2V,' (17.19)
§ I. Построение двумерной модели Изинга
при обычном определении произведения матриц, именно
(v ¦••• *;>=
= " 2 sn\v3\*l <)Х
х" <|V2K". <Ж'.....CIViK............X).
Прямое произведение матриц
Прежде чем ввести подходящее для нас представление матриц v3, V2 и Vi,
определим понятие прямого произведения матриц. Пусть А и В суть две m-
мерные матрицы, матричные элементы которых мы обозначим символами ((|Л|/)
и (/|В|/), где / и j независимо друг от друга принимают значения 1,
2,...,". Тогда прямым произведением матриц А X В называется "2-мерная
матрица с матричными элементами
<"' I л X в I JJ') = </1 AIJ) </' IВ | /У (17.20)
Это определение можно непосредственно распространить на случай прямого
произведения А X В X ¦ • • X С любого числа "-мерных матриц А, В С:
{и' ... l"\А X В X ••• X C\jf . . . /') =
= {i\A\j){i'\B\j') . . . <il"\C\j"). (17.21)
Если AB есть обычное произведение матриц А и В, то
(AXB)(CXD) = (AC)X(BD). (17.22)
Чтобы доказать это, рассмотрим матричные элементы левой части матричного
равенства
{W|(Л X В) (С X D)| jj') = 2 <В' I Л X B\kk'){kk'\Cx D\ JJ') =
= ^{i\A\k){k\C\J).^{i'\B\k'){k'\D\J') =
= </1 AC| j) {!' | BD| J') = {11' | {AC) X (BD) | JJ').
Аналогичным образом можно доказать более общее по сравнению с (17.22)
соотношение
04 ХВХ ... ХО(ОХВХ X В) = (ЛО)Х(ВВ)Х-..Х(СВ).
(17,23)
25*
Гл. 17. Решение Онсагера
Спиновые матрицы
Введем теперь специальные матрицы, удобные для представления матриц Vi,
V2 и Уз- Обозначим известные 2-мерные спиновые матрицы Паули буквами X, У
и Z:
М" о)- М" о)' z~(o (17-24)
Нетрудно проверить следующие их свойства:
Х2=1, К2 = 1, Z2 = l,
ХУ + КХ=0, YZ + ZY = 0, ZX + XZ = 0, (17.25) XY = iZ, YZ = iX, ZX = iY.
Определим три набора 2"-мерных матриц Ха, Уа, Z" (а= 1, .. п) следующими
равенствами1):
Ха= 1X1 X •. . X Z X .. . X 1 (я сомножителей),
