Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 119

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 154 >> Следующая

должны иметь такие же собственные значения, как и матрицы V+ и V-
соответственно, с точностью до возможного изменения нумерации собственных
значений. Поскольку собственными значениями 2.к являются +1, имеем
1, если четное число собственных 1 , ~ значений Z,, равно +1,
1(1 ± U) = { . * (17.115)
^ 0, если нечетное число собственных
значений Z* равно q: 1.
Это условие инвариантно относительно перестановки, переводящей {Z*} в
(ZР/!}. Поэтому собственными значениями матрицы (17.110) являются те
собственные значения (17.106), у которых в экспоненте содержится четное
(или нечетное) число знаков "-", в зависимости от того, выбран ли в
(17.110) знак " (или "-"). Из (17.106) и (17.105) делаем вывод, что
Наибольшее собственное значение Vo равно е'1^ Yo+Y2'l'Y4+ ••• +v2n_2)i
где знаки соответствуют знакам в (17.110). При я->со обе возможности дают
одинаковый результат, так как величина у0 пренебрежимо мала по сравнению
со всем показателем экспоненты, в последнем равенстве. Аналогичные выводы
могут быть сделаны для V5- Таким образом, приходим к заключению, что при
я-> оо
Наибольшее собственное значение Vo равно е'!г (vo+v2+v4+ ¦¦¦ +v2^-2)j
(17.116)
Наибольшее собственное значение Vo равно е'1, (Yi+V3+Vs+ ••• +Y2n-i).
Наибольшее собственное значение матрицы V является наибольшим из
(17.116), т. е., согласно (17.105), собственным значением Vo-
Следовательно, наибольшее собственное значение V есть
A^e,/2(Y1+v3+Y5+ ¦¦¦+v2n_1). (17.117)
Наибольшее собственное значение матрицы V
Теперь необходимо вычислить в явном виде наибольшее собственное значение
матрицы V- Используя (17.117), находим
lim |lnA= lim ± (Yi + Y3+y5+ ... +y2n_{). (17.118)
§ 3. Решение
405
При а-* со величина v становится непрерывной переменной, так что получаем
п 2я
Sv2*_/ rfvV(v>'
Поэтому
-ЗГ = Ж f rfvV(v> = i / rfvV(v>- (17.120)
где последнее равенство следует из соотношения (17.105), согласно
которому y(v) = y(2n-v). Чтобы выразить ?? в более удобной форме,
напомним, что y(v) является положительным решением уравнения
ch y(v) = ch 2ф ch 20 -cos v sh 2<psh 20, (17.121)
где
Ф = ре, e > 0,
0 = arth e~2(P. (17Л22)
Непосредственное вычисление показывает, что sh20 = -г4-,
sh2cp (17.123)
ch 20 = cth 2ф.
Следовательно, соотношение (17.121) может быть также записано в виде
chY(v) = ch2<pcth2? -cosv. (17.124)
Для преобразования (17.120) удобно воспользоваться следующим тождеством:
М = ^ fdtln(2chz- 2 cos/). (17.125)
Y (v) имеет интегральное пред-Y (v) = i-J ^1п[2сЬ2фс1Ь2ф -2cosv -2cosv'].
(17.126) Следовательно,
Д? = J dx J dx' In [2 ch 2ф cth 2ф - 2 (cos v-)-cos v% (17.127)
406
Гл. 17. Решение Онсагерй
Двойной интеграл в (17.127) распространяется на заштрихованную область на
фиг. 119. Очевидно, что интеграл остается неизменным,
Фиг. 119. Область интегрирования в соотношении (17.127). если область
интегрирования заменить прямоугольной областью, показанной пунктирными
линиями на фиг. 119. Эта область соответствует пределам интегрирования
0 < -< л,
1 (17,128)
0<v - v'<n.
Пусть ^
6l~~ 2 ' (17.129)
62==v -v'.
Тогда
_2* == 2^2- J d6i J d62ln (2 ch 2<P ctl' 2<P - 4 cos 6icos 262) = = 2^2-
J rf6l J rf62 ln (2 Ch 2(P cth 2(P - 4 C0S 61 C0S b2> =
= ^fd\fdb2 ln(2 cos 6,) +
+ ш fd6'f db*ltt (тёк-2 cos62)=
= 277 J d6>ln (2 C0S 6l) + ё /d6' al ch 2 cfs6; •
§ 3. Решение
407
где
D = ch 2ф cth 2ф (17.130)
и где еще раз было использовано тождество (17.125). Поскольку аг ch jc =
In [х + Yх1- 1],
можно написать
-3' = Ш / Л|1п[0(1 + У1 -И2С08*6,)].
WEl=-c^+>V- (17Л31)
В последнем интеграле cos26] можно, очевидно, заменить на sin26],
так как это не изменит значения интеграла. Поэтому
-27==^!n(1Sii)+i/d(|,!nT(1 + VAl-,(2sin2(P)' (17-132)
о
Термодинамические функции
Из (17.6), (17.118) и (17.132) получаем свободную энергию Гельмгольца на
спин а,(0, Т)
Р"/ (0, Г) = -!п(2с112ре)-^ jdq>!n-j(l + - "2sin2V).
° (17.133)
Внутренняя энергия на спин есть
"/ (°. Л = -щ [fW, (0, Г)] = - 2е № ш +
+ъ%!*'ттг?щ- <"•'">
где Д = \^1->t2 sin2 ф. Нетрудно видеть, что Следовательно,
и,ф, Т) = - 2eth2pe+- - Г- 1+- [ . d(t (17.135)
408 Гл. 17. Решение Онсаеера
Из (17.131) получаем
1 //v
= - 2е cth 2(ie (2 th2 20e - 1),
- 2e th 2pe - ^ = - e cth 2рв.
Таким образом, окончательно имеем
и, (0, 7') = - BCth2fte[l + ?*'*!(*)],
где К\ (х) представляет собой табулированную функцию -эллиптический
интеграл первого рода1)
V, I ¦ ,
J У 1 - х2 sm2cp
_ 2 sh 2|1б И_ cFi= 2Ре ' х'= 2 th2 2рв - 1, х2 + х'2=1.
Графики функций х и х' показаны на фиг. 120.
(17.136)
(17.137)
(17.138)
- ПОЛНЫЙ
(17.139)
(17.140)
(17.141)
(17.142)
') См., например, [41].
§ 3. Решение
409
Удельная теплоемкость с,(0, Т), как нетрудно показать, выражается
формулой
Ь(0, Г) =
= 1(ре cth 2ре)2 J 2КХ (и)-2Е, (х)-(1 - х') [f- +х'АГ1 (х)] } , (17.143)
где С] (х) также представляет собой табулированную функцию - полный
эллиптический интеграл второго рода:
Эллиптический интеграл АГ](х) имеет особенность прих=1 (или х' = 0); в
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed