Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 118

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 154 >> Следующая

В* А В О О О О В* А В
400
Гл. 17. Решение Онсагера
где А и В представляют собой 2-мерные матрицы ви _/ ch 2ф ch 20 -
(Ch2q>sh29\
i / ch 2ф sh 20 ch2<pch29/'
(-sh 2(p sh 20 /sh2(psh29 i sh 2cp ch2 9 - ish2cpsh29
а В* есть матрица, эрмитово сопряженная матрице В.
Чтобы найти собственные значения со*, будем искать собственный вектор со*
в виде
где z-число, а и-двухкомпонентный вектор
и = {^и )' (17'94)
Из матричного уравнения
= (17.95)
получаем следующие уравнения на собственные значения:
(zA -f- z2B + znB*) и = zku,
(z2A + z3B + zB*) и = z2ku,
(z3A + z*B + z2B") и = z3ku,
(zn~1A + znB -f zn~2B*) u = zn~1ku,
(znA ip zВzn~1В*) и = ztlku.
Уравнения со второго по (п-1)-е тождественны. Поэтому имеется только три
независимых уравнения:
(А -f zB + zn~'B*) и - ки,
{А-\- zB z~xE?) и = ки, (17.96)
(А ± z^~nB -|- z~1B*) и = ки.
Эти уравнения удовлетворяются, если положить
г"= + 1. (17.97)
Тогда три уравнения (17.96) сводятся к одному
(А zBz~'B") и = ки, (17.98)
S 3. Решение
401
Zk==e?.iMn (6 = 0, 1,..., 2я-1), (17.99)
6=1, 3, 5...........2n- 1 (для со+),
6 = 0, 2, 4, . . . , 2/1 - 2
Два собственных значения Хк для каждого 6 определяются уравнением {А +
гкВ+г-1В')и = Хки, (17.101)
причем величинам Хк соответствует и1' или ссг в согласии с (17.100). Это
определяет 2п собственных значений для обеих матриц со*. Чтобы найти Хк,
заметим, что, согласно (17.91) и (17.92), del | А | = ch2 2ф, del | В \ =
det | В* | = 0,
det | ^4 -|- -(- г'j ijg* | = 1 •
Следовательно, величины Хк должны иметь вид
Ък = е±у* (6 = 0, 1 2п - 1). (17.102)
Значения ук могут быть получены из уравнения
\ Sp (А + гкВ + г;'В*) = j (ev* + e_v*) = cli ук . (17.103)
Вычисляя шпур при помощи (17.91), (17.92) и (17.99), находим
cli ук = ch 2tf ch 20 - cos sh 2cp sh 20 (17.104)
(6 = 0, 1, .... 2л -1).
Если ук есть решение уравнения (17.104), тогда-ук также является
решением. Но эта возможность уже учтена в (17.102). Поэтому
определяем ук как положительное решение уравнения (17.104). Нетрудно
показать, что
У k Угп-к< (17.105)
0<Yo<Yi< < Yk-
Первое равенство очевидно. В справедливости второго соотношения можно
убедиться, замечая, что
дук (я/л) sin (nkjn)
Ж= :
пеличина, стоящая справа, положительна для 6 График ук как функции ф
показан на фиг. 118. При п-*-оо эти кривые переходят в континуум.
402
Г л. /7. Решение Онсагера
Собственные значения й* соответственно равны собственным значениям со*.
Поэтому матрицы й* являются произведениями коммутирующих плоских
вращений, хотя этот факт непосредственно не ясен из (17.84).
Yh
Фиг. 118. Решения уравнения (17.104).
Теперь с помощью леммы 3 (см. § 2) мы можем непосредственно выписать все
2й собственных значений матриц V*:
Собственные значения V+ суть е1г Y° * Vs ± Y-> ± ± г), (17.106)
Собственные значения V- суть Yi ± уэ * Ys * ¦¦¦ =*= v2"-i), (17.107)
причем все возможные выборы знаков "±" производятся независимо.
Собственные значения матрицы V
Как уже говорилось выше, система собственных значений V состоит из
половины собственных значений V+ и половины собственных значений V • Все
собственные значения матриц V* положительны и по порядку величины равны
еп. Поэтому все собственные значения V положительны и по порядку величины
равны еп. Это доказывает формулу (17.61). Чтобы найти систему собственных
значений матрицы V в явном виде, нужно было бы решить, какую из половин
систем
§ 3. Решение
403
собственных значений V+ и V- надо отбросить. Нас интересует, однако,
только наибольшее собственное значение V, так что нет необходимости
производить этот выбор.
Предположим, что 2"-мерная матрица F преобразует (17.80) в диагональную
матрицу, а 2"-мерная матрица G преобразует (17.81) также в диагональную
матрицу:
F[y(l+0)V+]F"1 = V^, (17.108)
G[^(l-U)V']G_i = VD, (17.109)
где У о-диагональные матрицы, на диагоналях которых располагаются
соответственно по половине собственных значений (17.106) и (17.107).
Можно выбрать F и G таким образом, чтобы FUF-1 и GOG-1 оставались
диагональными матрицами. Тогда действие F и G состоит только в
перестановке собственных значений U вдоль диагонали. Но мы
приняли, что матрица U имеет форму (17.78). Следовательно, F
и G либо оставляют матрицу U неизменной, либо
просто переставляют две субматрицы 1 и -1 в (17.78). Иными словами, F и G
либо коммутируют, либо антикоммутируют с U-Это означает, что
Vd=y(1 ± U)FV+F"\ (17.110)
V5 = y(l ± 0)GV"G"\ (17.111)
причем знаки "±" могут быть определены только путем непосредственного
вычисления '). Для наших целей это определение не является необходимым.
Можно записать
i-(l ± U)=4(1 ± Z1Z2 ZJ, (17.112)
FV+F-1 = nVAV2*-lZw, (17.113)
GV-G-1 = neV2V2*-2Z<3*. (17.114)
некоторые вполне определенные (хотя пока нам неиз-
вестные) перестановки целых чисел 1, 2 п. Перестановка Р
переводит k в Pk, a Q переводит k в Qk. Соотношения (17.113) и
404
Г л. 17. Решение Онсагера
(17.114) были получены, исходя из того, что матрицы FV + F-1 и GV G"'
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed