Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Первые два члена в выражении для дЖ1дХ требуют довольно трудоемких
вычислений. Результат имеет вид
D?C• [(DЯЖ)*• N] - DпЖ? [(ЪеЖ)* • N] = -1 б [Л7аб (2л)]. Отсюда мы
приходим к следующему выражению:
Ж = “ F 6 <2яМ + 1хЖ = F div (N*f) + ЬХЖ.
Эволюционное уравнение для ф(?, я) следует из инфинитези-мальной
ковариантности Ф(^, я) следующим образом.
Пусть Y ? & —некоторое векторное поле на М (не зависящее от X). Тогда
Ыу.ГЬ*>П(Г'Ч*)-
= ](Y’ D?(g> я)- (gf. ж)) =
= §(Y, Df(g, л).{Уо[ОФ(й, *>]•?(*)})-
(У = -У)
= -J(DO(g, n) {Jo[Df(g, л)]*.К}.(^)\ =
= -J(D0(g, я) (Lyg, Lyn), (N, X))=* (инфинитезимальная ковариантность Ф)
S (e, ">. (N. *)>-) - S NLySV (g, я) + (x, Lyf (g, Я))-
(интегрирование по частям)
- Ж + J {LrX. f) - J У (dAf) X- S (LXY, f) - Jy (dAT )ЯГ+
+ И1'- **?>•
Поскольку К — произвольное поле,
^f = (dAПЖ + Ltf. Ш
108
А. Фишер, Дж. Марсден
Теорему 6 можно переформулировать через скобки Пуассона, введенные в
предыдущем разделе, следующим образом.
Теорема 7
Пусть даны Nv Nt: M-4R, Хи Xt : М-+ТМ и
+ R,
Ft = [(Nt$V + Xt-f): T*oS — R,
тогда
\FV Ft} = \(Lx,Nt-Lx.Nl)SV +
+ \<(NlgTadNt — NtgradN1), f> + <Lx,Xt, f>,
и в частности
{ S N&, J JVt X j = J {Nt grad Nt-Nt grad Nv f)t
{I NX, \xf)=-\(LxN)X,
[\x,f, J Xt-f\ = J <LXlXtf>.
Убедиться в том, что эти соотношения эквивалентны теореме 6, можно прямым
вычислением. Мы будем называть их каноническими коммутационными
соотношениями Дирака.
Для понимания расщепления, введенного Монкри [148], и конструкции,
приводящей к пространству гравитационных степеней свободы (разд. 6),
будет важна следующая инфинитезимальная версия теоремы 1.
Предложение 8
Пусть (g, л) ? П %о- Тогда
im{./o[D<D(g, я)]*}с ker D(D(g, я).
Доказательство. Пусть (Л, со) ? im{./o[ZXD(g, я)]*} и (N, X)€C“x&, такие,
что (A, a>)=Jo[D<D(g, я)*-(N, X). Пусть (N(X), Х(к)) суть произвольные
длительность и сдвиг, такие, что (N (0), Х(0 ))=(N, X). Пусть (g (X), л
(Я)) — решение уравнения эволюции с длительностью и сдвигом (N()i), Х(Х))
и с начальными данными (g, я) ? Поскольку Ф(?, я)=0, по теореме 6 имеем
Ф(?(Х), я(Х))=0 для всех X, при которых существует решение. Отсюда
0-?®(f<Xb»(X))|x-0-D®(f(X), я(Х)).(^\ ^)|х=0--D®(*(X), л(Х))
{./о[ОФ(?(Х), "W)?-(5E(3tj)}U0-
= ОФ(?, я) - {./о[ОФ(?, я)3**(х)} = ОФ (g. Я) (А, (О).
11. Проблема начальных данных
109
Поэтому (Л, to) ?ker DC>(g, я). Ц
Изучим теперь структуру многообразия множества связей %яе П #а- Наложим
следующие условия на (g, я) ? Т*<Л:
С»: Если я=0, то g — неплоская метрика.
С(,\ Если для X ??"(№) имеем Lxg=0 и Ьхл=0, то Х=0. Си: tr я' постоянен
на М.
Рассмотрим связи по отдельности, начиная с гамильтоновой связи.
Предложение 9
Пусть {g, я) ? ‘бзс удовлетворяет условию #*. Тогда есть С°°-
подмногообразие многообразия Т*<М в окрестности {g, я) с касательным
пространством
Ти, я) = ker ЪЖ (g,n) .
Доказательство основано на ряде свойств эллиптических операторов и
пространств Соболева. Мы коротко напомним относящиеся сюда факты (см.
доказательства в работах [16, 157)).
Пусть ?2 — ограниченная открытая область пространства R" с гладкой
границей. Для любой С”-функции f из R" в R" мы оп: ределим Ws-p(Q, Rm)-
HopMy f как
\f\v*r- 2 1|0“Л1/. (Я).
0 < а < s pv '
где D“— полная производная f порядка а и через ||l (Я) обозначена обычная
Lp-норма на Q:
“(S 1 pdxy/p ?
По определению Ws-P (fi, R") есть пополнение пространства С”(?2,
R")={сужение С“-функций с R" на ?2} по этой норме. Будем употреблять
более краткую запись W*'p для Ws'p (?2, Rm ) и аналогичную для других
подобных выражений в случаях, когда возможность путаницы будет невелика.
Для компактного многообразия М без края и векторного расслоения Е над М
будем обозначать через WStP(E) пространство всех сечений Е класса Ws'p в
некотором (и, значит, в каждом) покрытии М картами. Для функций с
действительными значениями мы будем писать просто W*'p, но в случаях
других тензорных расслоений примем для WS'P(E) специальные обозначения,
такие, как aSs,p для ^’"-пространства римановых метрик.
В случае р=2 пространства W*-p обозначаются Hs. В этом, и только в этом
случае мы имеем дело с гильбертовым пространством.
Предположим теперь, что имеются два векторных расслоения Е и F над одним
и тем же многообразием М и линейный дифференци-
110
А. Фишер, Дж. Марсден
альный оператор D порядка k:
D:C® (?) — С® (F).
Линейный дифференциальный оператор порядка &есть отображение, такое, что
для данных карт на Е и F (и, следовательно, для всех карт) этот оператор
принимает форму D=2iai<*a<x(x)Da, где D“=dia|/dx“' . . .дхя"— частная
производная в карте U многообразия М, a=(ax, . . ., a„), |a|=2?-iai и
аа(х) есть линейная функция из модельного пространства для слоя Ех в
модельном пространстве для слоя Fx над x?U. На D можно смотреть как на
отображение между пространствами Соболева:
D:H7s+*- р ? Ws> р.
Для оператора D есть /,2-сопряженный оператор D*, определяемый, как
обычно, уравнением
(D/, g)z.,= (f, D*g)t„ т. е. J <D/\ g>dp = $ </, D*g>dp,
