Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинга В. -> "Общая теория относительности " -> 48

Общая теория относительности - Хокинга В.

Хокинга В. Общая теория относительности — М.: Мир, 1983. — 455 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayatepriyaotnositelnosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 222 >> Следующая

является связью без производных (т. е. взаимодействие минимально), то
уравнения с этим взаимодействием имеют вид
= Фа.
®(g. я; Фа. Я'4) — (фт (g, я; Фа. я*). ф»ыро*д (S. л; Фа. пА)) = 0.
Здесь под ФА имеются в виду все негравитационные динамические поля, под
лА— их сопряженные импульсы, под Фцырожд^О — дополнительные связи,
возникающие вследствие вырождения а ф суть соответствующие нединамические
(вырожденное) поля. Эти результаты обеспечивают единую ковариантную
гамильтонову формулировку общей теории относительности в сочетании с
другими лагранжевыми полевыми теориями и фактически позволяют формально
перейти от случая пустого пространства к случаю связи без производных.
Приведенное доказательство того, что описание полей, взаимодействующих с
гравитацией, может быть дано в "/.^-сопряженном формализме», основано на
результатах Кухаржа. В серии работ [119—125], составивших веху в этой
области (первые шаги в которой были сделаны Дираком, см. [79] и ссылки,
приведенные там), Кухарж дал разработанную в деталях каноническую
формулировку ковариантных полевых теорий. Реализацию этой
//. Проблема начальных данных
105
формулировки для полей Янга — Миллса можно найти в работах Армса [2, 3].
Формализм, изложенный здесь, можно распространить на случай некомпактного
многообразия М. В этом случае возникает много технических проблем, но
принципиальное различие только одно: скорость спадания асимптотически
плоской метрики недостаточна для того, чтобы было возможно интегрирование
по частям. Это привело Редже и Тейтельбойма [161] к выводу, что настоящий
гамильтониан, действительно порождающий эволюционные уравнения, содержит
дополнительный член с поверхностным интегралом, соответствующий массе.
Таким образом, в асимптотически-пло-ском случае после наложения связи Ф=0
эту массу можно истолковать как «истинный» генератор уравнений эволюции.
Эти идеи обсуждаются в работе [64].
2. МНОГООБРАЗИЕ СВЯЗЕЙ
Пусть через #*={(#, л) € T*aS\3t(g, я)=*0} обозначено множество решений
гамильтоновой связи, и пусть
#б = № n)?T*o*\f(g, л) = -2яг',. = 0}
означает множество решений дивергенциальной связи. Таким образом,
#=#*Песть множество связей для системы Эйнштейна в пустом пространстве.
Отметим два следующих важных факта относительно Чбх П #в:
1) Уравнения эволюции сохраняют эти связи при любом выборе функции
течения времени и векторного поля сдвига.
2) П #6 является в общем случае гладким подмногообразием в Т*<Л.
С пространственно-временнбй точки зрения сохранение связей эквивалентно
свернутым тождествам Бианки, которые являются дифференциальными
тождествами, порожденными ковариантностью четырехмерных уравнений поля.
Это сохранение связей во времени необходимо для согласованности уравнений
эволюции и связей.
Структура многообразия на П #в. интересная сама по себе, как мы увидим
далее, является также ключом к пониманию устойчивости линеаризации
полевых уравнений.
Для начала заметим, что гамильтониан и функции импульса ко-вариантны по
отношению к <Э(М), бесконечномерной калибровочной группе диффеоморфизмов
многообразия М. Иначе говоря, для любого т) С S>(M) и (g, я) С Т*в?
SK (т\*g, Т1*л) = Х\*Ж (g, я),
Т (П*&. r\*n) = i]*f(g, я)
и, следовательно, Ч*л) = '1*ф(§. л).
Здесь т)*—обычное увлечение тензоров.
106
А. Фишер, Дж. Марсден
Если Tt\x— некоторая кривая на 3)(М), причем г)0 есть единица группы, то,
вводя векторное поле X как
дифференцируя приведенные выше соотношения ковариантности по X и положив
Х=0, получим инфинитезимальную версию этих соотношений:
ЪЖ (g, я) • (Lxg, Lxл) = Lx [Ж (g, я)],
Df ig, я) (Lxg, Lxn) = Lx[f(g, я)]
и, следовательно,
ОФ (g, n)-(Lxg, Lxn) = Lx [Ф (g, я)].
Подобные же равенства возникают из калибровочной инвариантности полей
Янга — Миллса.
Скорость изменения Ж и ^ вдоль решения уравнения эволюции при функциях
длительности и сдвига общего вида определяется следующей теоремой.
Производная Ли в приведенных в ней уравнениях обусловлена уже
обсуждавшейся инфинитезимальной ковариантностью.
Теорема 6
Пусть (g (X), я(Х)) — некоторое решение эволюционных уравнений Эйнштейна
|(®)-Jo[D Ф (<>,„)]•.($!)
при произвольной длительности N {X) и произвольном сдвиге X (X). Тогда
(Ж(Х), У(Х))={Ж^(Х), п(Х)), f(g(X), я (А.))} удовлетворяют следующей
системе уравненийt
d-§ = ±div(N*f) + L^,
й? = (дЫ)ЖЛ-1у#.
Если для некоторого л0 в области существования этого решения (g(М. n(X0))
= (go, л0)€?«П?6 (т. е. ®(g0, я„)=0), то (g(X), я (л)) С П ft,- при всех
X, для которых решение существует.
Замечание. Из теорем единственности (см. разд. 3) вытекает, что решение
уравнений эволюции должно полностью лежать в #жП#в, если оно пересекает
#«П#6-
Доказательство. Используем инфинитезимальную ковариант-
//. Проблема начальных данных
107
ность Ж следующим образом:
= ЪЖ(g, л)• {./o[D(D(g, я)]* *(х)} =
= Jt) {7o[(DЖ(8, n)r-N + (Df(g, я))*-Х]} =
= ЭЖ (g, n)-{Jo[(D Ж& n)y.N + (-Lxn, L*g)]} =
= ОеЖ(8, n){[DпЖ(8, n)]*-N} —
— D„^(g, п)-{[ВеЖ(g, n)]*-N\ + Lx.9t (g, л).
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 222 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed