Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
оператор, зависящий от неизвестной и нелинейным образом. Мы включили сюда
для полноты неоднородный член /, хотя он может быть устранен упомянутым
выше приемом Като.
Сделаем следующие допущения. Будем исходить из того, что есть четыре
(действительных) банаховых пространства
У с X с Z' с Z,
причем все они рефлексивны и сепарабельны, а включение непрерывно и
плотно. Предположим, что
(Z')Z' есть интерполирующее пространство между У и Z; таким образом, если
U ? В (У) П B(Z), то U?B(Z'), причем ||Я||7.< <с шах {||Я||К, ||(/||z};
B(Y) означает множество ограниченных операторов на У.
Пусть N (Z) есть множество всех норм в Z, эквивалентных некоторой данной
|| ||7. Тогда N (Z) будет метрическим пространством с функцией расстояния
Введем теперь на [0, Т] х W, где Т>0 и W — открытое множество в У, четыре
функции A, N, S, f со следующими свойствами.
Для всех ^ [0, Т] при всех да, w € W найдутся
Действительное число f) и положительные числа . . ., та-
кие, что будут выполнены следующие условия:
122
А. Фишер, Дж. Марсден
(N)N(t, w) ?N(Z), причем
d(N(t,w),
d(N{t',w'), N(t,w))^\xN(\t-t'\ + lw'-wix).
(S) S (t, w) есть изоморфизм Y на Z, причем
|S(*.
|S(f\w')-S(t, »)Iy.,<|i5(|/'-/.| + |a»'-a»W.
(Al) A (t, w)?G(ZNit'W),l, P), где ZNiUw) означает банахово пространство
Z с нормой N(t, да). Это значит, что А (/, да) есть Co-генератор в Z,
такой, что ||eT>l(<'“’)z|Ke|iT||z|| для всех т^О и z? Z.
(А2) S (t, да) A (t, да) S (t, w)~1=A (t, w)+B (*, o'), В (t, да) ? В
(Z), \\B(t,
(A3) A (t, w)?B(Y, X), причем ||Л (/, «ОНк.Х^. 1И (<, «0-—А(/, ш)||у,7-
<ри||ш'—ш||г', и отображение t>->A(t, да) ? ?B(F, Z) непрерывно по норме.
(И) /(/, да) 6 Y, ||/(/, ю)||IIW. «О—/(*. ®)llz<P,ll®'—®llz, и t*->f(t,
w)?Z непрерывно.
Замечания. (I) Если N(t, ®)=const=|| Hz. условие (N) излишне. Если S(t,
u))=const=S, условие (S) тривиально. Если имеет место и то, и другое и,
кроме того, X=Z'=Z, мы приходим к случаю, рассмотренному в [113].
(II) В большинстве приложений можно выбрать Z'=Z и (или) Z'=X
(III) В статье [1081 имелось дополнительное условие (А4), которое, как
показал затем Като [114], является излишним.
Теорема 16
Допустим, что удовлетворяются условия (Z'), (N), (S), (А1) — А(3) и (/1).
Тогда существуют такие положительные постоянные р' и Т'^Т, что уравнение
(5) имеет единственное на [О, Т\ решение и, если ф?У и ||0—1/о11к<р'.
причем
и 6 С ([О, Г]; 1Р)ПС1([0,Г]; X).
Здесь р' зависит только от kN, Xs, и R=dis((y0, К\№), в то время
как Т' может зависеть от всех постоянных |3, XN, [iN, . .
. и R.
Когда 0 изменяется в К с выполнением условия ||0—*/<>11уХр\ отображение
<j>*-*u(t) липшиц-непрерывно по Z'-норме равномерно по / ? [О, Т'\.
Для установления корректности мы должны усилить некоторые предположения.
Наложим еще следующие условия:
(В) || В (/, да') - В (/, да) Iz < I w' - да ||к,
(12) |/ (/, W) - / (t, да) I < nf I да' - да Цу.
II. Проблема начальных данных
123
Теорема 17
Допустим, что удовлетворяются условия (Z'), (N), (S), (А1) — (АЗ), (В),
f(l), f(2) и в них S(t, w)предполагается независимым от w. Тогда
существует положительная постоянная Т"^Т', такая, что когда ф пробегает Y
с выполнением условия \\ф—г/о|1к^р', отображение ф\—>и (t), определяемое
теоремой 16, непрерывно по норме Y равномерно по t ? [О, Т"\.
Замечание. Как и в работе [113], можно доказать аналогичную теорему
непрерывности для случая, когда варьируются не только начальное значение
ф, но и функции N, А, /, т. е. решение «устойчиво» при изменении самих
уравнений. Наоборот, изменение S, по-видимому, довольно трудно
рассмотреть.
Данная теорема, таким образом, гарантирует существование (заданных
локально) отображений
Fus'-Y-Y,
которые непрерывны по всем переменным. Как и в линейном случае, имеем
Ft, s° Fs,r — Ft,r-
Мы будем называть Ft<3 эволюционными операторами, порожденными уравнением
(5). Общее понятие эволюционного оператора для (4) вводится по аналогии.
Идея, на которой основано доказательство теоремы 17, состоит в том, чтобы
фиксировать кривую v(t), о(0)=ф в К и рассматривать и (0 как решение
«задачи с замороженными коэффициентами»
« = А (*, v)u+f(t, v), и(0) = ф,
что допустимо в связи с теоремой 13. Это приводит к отображению Ф: он->и,
и мы ищем фиксированную точку Ф. В подходящем функциональном пространстве
и для достаточно малого Т' Ф будет в действительности сжатием и потому
будет иметь единственную фиксированную точку
Однако доказать, что и непрерывно зависит от ф, не так просто, и
необходимы детальные оценки по линейной теории. Доказательство неизбежно
должно оказаться более или менее затруднительным, поскольку зависимость
от ф, вообще говоря, не является локально- липшицевой. За деталями
доказательств читатель отсылается к работам [108, 113, 114].
Непрерывная зависимость решения от ф естественным образом приводит нас к
вопросу о том, является ли эта зависимость в каком-нибудь смысле гладкой.
Это важно для изучения соотношения между нелинейными теориями и их
