Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
структурой, в которой уравнения эволюции теоремы 1 являются
гамильтоновыми. Для включения в эту схему функции длительности и
векторного поля сдвига необходимо ввести понятие обобщенной гамильтоновой
системы.
Определим на Т*<Л глобально постоянную симплектическую структуру
Q = fi(g, я) • Т(g, я) (Т*е?) X Т(g, я) (Т*оЖ) ? R следующим образом: для
(hi, юО, (h2, to2) € T'(g.n)(T*ad)=StxSl,
((hi, (Oi), (h2, to 2)) = J to 2/1 j—<Hi’hi.
м
Пусть J=(-°io) ? SrfXSj-vSjXS^ определяется следующим образом: (©, h)>-^J
(“)=(_5), так что J~1=(°ri) • SiXSj-^SjtXSt, (h, to) 1—? ? (—to, h).
Тогда
Q((ft,, fflg), (h2, (o2))= (К, со,)).
M V1”!/
Вскоре мы вернемся к матрице J.
Пусть С°°—С°°(М; R) означает гладкие функции на М с действительными
значениями; С”—гладкие скалярные плотности на М; SC — гладкие векторные
поля на М; AJ — гладкие плотности линейных форм на М. Рассмотрим функции
Ж". Т*аЛ >—* Cj; (g, л) 1—*-S%(g, л) =
= [л'-л' —Y(irny-R(g)]d\i(g);
У = 26: Т*аМ >-*• AJ; (g, л)»—». 2 (6?л) = —2л,^;
Ф = (Ж, f): Т*<Л ~С? х AS; (g, л) ~ (Ж (g, л), ? (g, л)).
На этом этапе необходимо вычислить производные Ж, У и Ф И сопряженные им
естественным образом величины. Результаты вычислений представляются в
виде следующего предложения.
* № 1230
98
А. Фишер, Дж. Марсден
Предложение 2
Если положить (?,л)^Т*аЛ, (h, (x>)€Tie,n)(T*a?)=S3xSd и (N, X) ?С°°Х&, то
производные функций S%, jt, Ф
DX{g% n):S4xSJ—?CJ, (fir, Jt):SsxSS->AS,
ОФ(?, n):SaxS5—*CjxAJ
u естественным образом сопряженные им величины [DX(g, л)]*: С” —>• SJxSj,
[ОУ (fir, «)]*:Jr-*SSxS„
[DO(g, я)]»:С-х^Г —SixS,
даются следующими выражениями:
D#f (g, л)(Л, (o) = —S^(n, я) Л +
+ [Ein (g) ? h — (88ft + Д tr ft)] dp (g) + 2 [(л')— у (tr л') gj • to;
[DM(g, л)]»W =
= {[—NSg(n, л) + (N Ein (g) — (Hess N + gAW))*]0 dp (g),
2w[(n')b-y(trn')g]};
Df(g, л) • (ft, со) = —2 [<oi{i+hlknk{l + nSl(hti\i—g-Apu)];
[Df(g, n)]* X = (—Lxn, Lxg)\
ОФ(^, л) • (Л, to) = (D$V(g, л) • (Л, со), Df(g, л) (Л, со)); [D®(g, л)]•
(W, Х) = [Ш(ё, n)]*.N + [Df (g, л)]* Х =
= |[—NSg(n, n) + (N Ein(g) — (HessW + gAW))#]®dp(g) —
—Lxn, 2N [(я')ь—4-(trn')g + ^]}-
Доказательство состоит в довольно длинном, но прямом вычислении.
Как показано в работе [7], уравнения эволюции теоремы 1 являются
гамильтоновыми уравнениями с гамильтонианом N9?+ +X‘f, т. е.
!-Адаг+Х.П
Ж—
Используя симплектическую структуру на Т*о4, задаваемую ма-
//. Проблема начальных данных
99
трицей
?/ = (_? о):S3xS,-Stx55, (со, /(?) = (_*), и соответствие
(? (ЛЛЯГ+л: • Я. да + а:• я) = РФ te, я)]».(?),
гамильтоновы уравнения теоремы 1 можно представить в весьма компактной
форме.
Теорема 3
Система уравнений Эйнштейна, задаваемая уравнениями эволюции и
уравнениями связи в теореме 1, может быть представлена в виде
Уравнения эволюции = J ° [D<D
Уравнения связи Ф(?, n) = ($f(g, л), f(g, л)) = 0,
где {N, X} суть функция длительности и векторное поле сдвига,
ассоциированные с данным разбиением, а
[ОФ(ё, Я)]*-(5Е)
определяется в предложении 2.
Набросок доказательства теорем 1 и 3
Лагранжева плотность, порождающая уравнение Эйнштейна для пустого
пространства имеет вид
^rp.B
где dp (wg)=(—detu,g)‘/*d*x=A^ (det g)4tdaxdX=NdXd\x (g). Из
вычислительной части доказательства, которую мы здесь опускаем, видно,
что J?rpaB можно записать в следующей (3+1)-мерной форме (см. уравнения
7-3.13 в [7] и уравнения 21-90 в [1441):
16"^гр,в (u,g) = NR (“>?) dp {g) dX =
= [ni,d-W-NM{g, n)-X f(g, n)jdX-—2^Л/Х' — yX' trn + (grad N)‘dp(g)J ^X —
^tr л^ dX.
Здесь i>. есть разбиение многообразия Vv так что Vt можно отождествить с
/х М. Заметим, что наше определение n=n'dp (g)~
4*
100
А. Фишер, Дж. Марсден
=я' (det g)4>d3x=nAa,A d3x содержит множитель d3x, который дополняет (det
g)4‘ до элемента объема на М. Подобным же образом элемент объема dp((4)g)
включает dix=d3xdX, чем и объясняется наличие общего множителя dX.
Построим на М векторную плотность р=р,=2[я'/Х/—j Х‘ tr л+
+(grad N)‘ dp(g)] и заметим, что р;(=р‘1:=б1у р. Действие для гравитации
можно записать в виде
16nSri)#B (l4)g) = 16л J 3?грав (U}g) —
V.
= 16лJdxf \n.(?-NM(g, n)-X f(g, л)1 +
/ м
+ 16nJdA,J fdivp — ^trn^. г м
Поскольку интегрирование по М обращает член с div Р в нуль, а член с
полной производной по времени
J dX j ^ tr Я = J (tr л)х,=ь — ^ (tr п)к=а Г = [а,Ь] ММ М
можно опустить как постоянную, которая не войдет в вариацию SrpaB, имеем
16л5грав (U)g) = \6n§d\$(n.d?-NSV-X.f) =
= i6nj^j[n.|-®(g, я)-(5Е)].
I ML V / J
Вариация действия no ii]g в направлении “'ft, исчезающая на {а} ХМ и {ft}
ХМ, индуцирует вариацию (Л, со) пары (g, л), которая также исчезает на
каждом концевом многообразии {а} ХМ и {ft} ХМ. Таким образом, из условия
экстремума действия при произвольной вариации (Л, со), исчезающей на
концевых многообразиях {а}хУИ и {ft}xAf, получим
0 = 16ndSrpaB <<«*)? “'ft = 16л Гdk С (со-|f + л -
/ м
— 16я jdA, f(D<D(g, n) (h, со), (х)) =
/ м ' '
=»16л jdkjj' (ю-gf—§??•*) + 16я^(я-й)х.» — j (n-ft)x=0j —
