Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения по времени; запишем
/
U (t, s) ф = ф + ^ А (т) U (т, s) dx
S
и используем равенство
| [(/(/, S +ft) ф-(/(*,5)ф] =
= U(t, S + h) [ф-"|~+*)ф]+{[(/(5 + Й, s) ф ф]
s + h
~7 J ^(т) (/(т, s + ft^dx.
S
Семейство A (t)?G(X, М, Р) (при фиксированных М, р) называется
устойчивым, если для любого sj^O и 0^,^. .
exp [skA (/*)] exp [s*_,А (/*_,)] ... exp [s,A (/J] < <Mexp[P(s1+ ...
+s*)j,
или, что то же самое,
|(Х-Л (/*))-* ... (Х-ЛО-’Ц^-^, я>р.
116
А. Фишерг Дж. Марсден
Если A (t) g G(X, 1, р), то A (t) очевидным образом устойчиво. Если
пространство X с некоторой новой нормой || ||(, зависящей от t
экспоненциально
I!<pI!<<II<pIUc|'-s|. s. t €[0. Т],
обозначить через X, и если A(t)?G(Xt, 1, р), то A(t) устойчиво в Xt, с
М=е2сГр (см. работу Като [1101, предложение 3.4). Там же в предложении
3.5 показано, что ограниченное возмущение устойчивого семейства
устойчиво.
В следующей теореме L?(l0, Л; В (У, X)) означает класс эквивалентности
строго измеримых существенно ограниченных функций из (0, Т) в В (У, X) и
Lip*([0, Л; В (У, X)) означает сильно неопределенные интегралы функций в
L?([0, Л; В (У, X)).
Теорема 13 [111]
Предположим, что (I) A (t)—устойчивое семейство генераторов в X, 0^/^Л
(II) УсХ с непрерывным плотным включением и D(A)z)Y\
(III) имеется семейство S(t) i У-»-Х изоморфизмов (на), таких, что
S(t)A(t)S(t)~' = A(t) + B(t),
где B(t)?B (X) — ограниченный оператор на X и
а) /•—?S(Z) лежит в Lip* ([0, Л; В (У, X));
б) t? В(t) лежит в LT(l0, Л; В(Х));
(IV) /•—*ч4 (0 ?В(У, X) непрерывно по норме.
Тогда для А имеется единственное семейство сильных эволюционных
операторов. Доказательство см. в работе [1111. Случай, когда область
определения A(t) постоянна во времени, много проще. Здесь мы предположим,
что D(A(t))=Y и что А ? Lip*([0, Ту, В (У, X)). Тогда (III) будет
выполнено при В=0 и
S(t) = k-A(t), Х>р.
Однако для тех гиперболических задач, которые мы хотим рассмотреть,
области определения не обязательно постоянны. Случай постоянной области
определения является предметом начальной работы Като [1091; см. также
[1811.
Неоднородную задачу
-|- = Л(0п + /(0, и (0) = ф
можно исследовать с помощью следующего хитроумного приема Като [114]. Мы
перепишем это уравнение как уравнение на XxR и рассмотрим эквивалентную
однородную проблему
//? Проблема начальных данных
117
где
Тогда теорему 13 можно применить к А.
Во многих нелинейных задачах часто удобно рассматривать присоединенные
(зависящие от времени) линейные задачи Коши, и к ним также применима
теорема 13.
Чтобы проиллюстрировать применение этой теоремы, рассмотрим два случая,
которые более всего касаются нас, а именно: симметричные гиперболические
системы первого порядка и гиперболические системы второго порядка. Мы
будем рассматривать их на R1*, но в силу гиперболичности этих уравнений
полученные результаты могут быть локализованы и затем применены также и к
компактным многообразиям (см. [104]).
Сначала рассмотрим симметричные гиперболические системы первого порядка
по Фридрихсу [99] (см. также [84, 112—114]). Они имеют вид
где u(t, х) € R^, aj, а действительны. Сделаем следующие предположения:
(I) имеются постоянные матрицы а“, а“, такие, что
здесь Н s(R)m — обычное пространство Соболева над Rm (пока без уточнения
области определения) и s>(m/2)+l;
(II) dj— симметричные матрицы;
(III) a0(t, x)^cl при некотором с>0.
Теорема 14
При этих условиях гипотезы теоремы 13 удовлетворяются, если принять
т
(2)
Uj — af, а-а"€С([0, Т], Я» (R”)) n L~ ([0, Т], Н*(R")),
/ = 0, 1..../л,
я*—о<Г € Lip ([0, Г], ^-‘(R”));
X = L* (Rm) = Н" (Rm),
Y = Hs(Rm), 1 <s'<s,
S(/) = (l-A)‘7*,
(замыкание этого оператора на С“), т. е. уравнение (2) порождает
118
А. Фишер, Дж. Марсден
сильную эволюционную систему в I*, которая отображает Н5' на Hs'
{регулярность}.
Примечание. Областью определения оператора A(t) не обязательно является
Hl{R”); например, aj могут обращаться в нуль.
Идея доказательства состоит в следующем. Если введем на X энергетическую
норму
и величина р конечна в силу неравенств Соболева. Основная идея состоит
теперь в том, чтобы получить оценку
которая в силу неравенства Шварца следует из неравенства
Последнее неравенство легко доказывается с использованием интегрирования
по частям и симметрии aj. Устойчивость A (t) вытекает из того факта, что
норма || ||( зависит от t экспоненциально. Труднее всего доказать, что
(где I , 1 — коммутатор) является ограниченным оператором на X. Этот
коммутатор расписывается явно; решающим пунктом является оценка
коммутатора
Искомые оценки этого коммутатора получаются с помощью длинной, но
относительно прямой последовательности оценок типа Соболева. Подробности
для s' = l можно найти в работе [113], а общий случай вполне аналогичен
этому.
Замечание. Результаты этого типа для выражения (2) приводились уже в
давних работах Фридрихса [98] и Куранта и Гильберта [60]. Однако нигде не
были отчетливо и точно сформулированы гипотезы о дифференцируемости,
