Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинга В. -> "Общая теория относительности " -> 47

Общая теория относительности - Хокинга В.

Хокинга В. Общая теория относительности — М.: Мир, 1983. — 455 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayatepriyaotnositelnosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 222 >> Следующая

— 16л j d% J ((ft, со), [D<D(g, л)]*-(^) =
II. Проблема начальных данных
101
где член, содержащий полную производную по времени
W4r*.
I м
обращается в нуль при интегрировании по переменной к ввиду исчезновения h
на концевых многообразиях. Из произвольности вариации (h, ©) следует, что
а потому
\ дк 1 \дк/
Теперь мы обсудим некоторые дополнительные детали гамильтоновой структуры
сопряженного уравнения в теореме 3.
Пусть F : T*aS->-R есть функция на Т*<Л с действительными значениями,
задаваемая плотностью <F : T*aS-*-Cd, т. е.
F(g, я)= S^(g. «)•
м
Тогда гамильтоново векторное поле функции F
XР\Т*<ЛТ (Т*<Л)
определяется равенством
dF(g, я)-(Л, ©) = Q(XF(g, я), (Л, ©)),
где Q — симплектическая структура на Т*<Л.
Предложение 4
Гамильтоново векторное поле ХР дается выражением ХР(?, я) = J о [DIF (g,
я)]* • 1.
Доказательство
Q(Xp(g, я), (Л, ©)) = —J<X,r(g, я)> •/_1(Л, ©)>, и, таким образом,
dF(g, я)• (Л, ©) = J DF(g, я)-(Л, ©) = $<[WF(g, я)]М, (Л, ©)> = — J <Уо
[D^(g, я)]»-1, У-1 (Л, ©)>
(У = _У)
= Й{У o[D|F(g, я)]*1, (Л,©)}. ?
102
А. Фишер, Дж. Марсден
В частности, если F=$N9?+X‘f-=$<(N, X), Ф>, то
XF(g, n) = J o[D(NM + X-f)Y-\=J o[DO(g, я)]*-(х).
Отсюда видно, что эйнштейновские уравнения эволюции являются
гамильтоновыми уравнениями на симплектическом многообразии Т*<Л с
плотностью гамильтониана N.9?-\-X • у.
Допустим теперь, что Fu Fг: T*aS-*-R являются функциями на Т*еЖ с
действительными значениями, задаваемыми плотностями W, и (F,
соответственно. Тогда их скобка Пуассона
F%)\T*
определяется как
n) = Q(XP'(g, л), XPt(g, л)), где ХР — гамильтоново векторное поле для F.
Предложение 5
Для скобки Пуассона {Fu F2), определенной выше, справедливо выражение
F%}(g, «)=ji<[D^i(g. ")]*•!. [Dn^,(g, л)]*1>_
— S<[D„Ft(g, л)]*1, D?<F,(g, л)1>.
Доказательство
^i. ^.}(g. Ji) = Q(AT/r1 (g, л), Xf, (g, л)) =
- — J <XF, (g, л), J-'oXp, (g, л)> =
= — 5<Уо[1Ж, (g, л)]*1, /-1o/o[D<F*(g, л)]* 1>=»
= — S<[DFx(g, л)]*• 1, -/*o[D<F,(g, л)]*• 1 > =»
= $<[D<F,(g, л)]*1, я)]*• 1 > =
= J <([D*<F, (g, л)]*1, [D„^l(g, л)]*1)х
v/[D^.(g. я)]*-1 Y
X\-[D^t(g, л)]*• 1)'
— J ?Fi (g, я)]М, [DjjaF, (g, л)]*-1>
— J <[D„<F, (g, л)]* • 1, [D,<F, (g, л)]* • 1>.
Этот результат в «физических обозначениях» можно записать в виде
IF Г- ? Г (6<fa fipTi №г\
• l’ *' J \ bg 6л 6л bg ) "
//. Проблема начальных данных
103
Теперь рассмотрим случай, когда
Ft=[NSV + X-f.
Тогда из приведенного выше доказательства вытекает, что
{F, NSV + X-f}(g, я)-5 <[D^(g,ji)]*.i, Jo[D(NX + X-f)}* I>
- S ([D^F (g, я)]*-1, J°[D<D(g, я)]* • (J); -
-S ^(g,
= ^F(g, л).
Это означает следующее. Пусть (g(X),n(X)) — решение эволюционных
уравнений Эйнштейна с длительностью и сдвигом N (X), X (X). Пусть
F(X)=F(g(X), л (X)). Тогда
" HF, NX + X-П
Таким образом, скобка Пуассона с гамильтонианом f
+Х-$ порождает, как и ожидалось, производные F(g(X), л(Х)) по X, где (g
(X), л(Х)) есть поток с начальными данными (g(0), я(0)) и с длительностью
и сдвигом (N (л), X {X)).
Запись уравнений Эйнштейна, приведенную в теореме 3, можно на самом деле
обобщить так, чтобы она могла включать теории полей, взаимодействующих с
гравитацией. Эта обобщенная форма лежит в основе ковариантной
формулировки гамильтоновых систем [90, 92, 53, 121—1231. Например,
каноническую формулировку ковариантного скалярного волнового уравнения
ОФ=т*Ф+Р'(Ф) в пространстве-времени (Vt=IxM, <4,g) можно получить через
общие длительность и сдвиг следующим образом.
Рассмотрим гамильтониан для скалярного поля
X (g; Ф, я) = | j [(ni)2 +1 уф |* + т*Ф*| + F (ф) J. dp (g)
(в этом примере фоновая метрика рассматривается как заданная, но без
уточнения ее конкретного вида). Мы можем построить дважды ковариантную
симметричную тензорную плотность варьируя 9V (g\ Ф, я*) по g:
& = -2[DgX(g-, ф, дц)]М, и плотность линейной формы ^(ф, лф), пользуясь
соотношением
$ <Х, f (ф, я*)> = ^ <л„ 1*хф>,
104
А. Фишер, Дж. Марсден
откуда ф(Ф, Пф)=я+'с1ф. Это равенство представляет как сохраняющуюся
величину для координатной группы инвариантности на М [83, 84]. Если мы
положимФ=(9С, tf), то гамильтоновы уравнения для Ф в общем разбиении
пространства с длительностью N и сдвигом X примут вид
-?/.[[>«><*?, я.>г(х),
т. е. точно такой же, как для общей теории относительности. Вычисления
показывают, что эта система эквивалентна приведенному выше скалярному
волновому уравнению. Здесь Е)Ф (g; Ф, я*) есть производная Ф по
скалярному полю и его каноническому импульсу л*.
Если мы вводим взаимодействие скалярного поля с гравитацией, рассматривая
скалярное поле как источник, то уравнение для гравитационного импульса
дл/дХ в теоремах 1 и 3 изменяется на дополнительный член (l/,)jV<$r, а
уравнение для dg/dX остается неизменным. Уравнения связи принимают вид
скал (g; Ф, я*) = о, f
грав (g. n) + f скал (Ф> ^ ) 0.
И вообще, если рассматриваются полный гамильтониан #?г=»
^-^град+^полей и ТеНЗОр ПОЛНОГО ПОТОК8 ^т=^граВ+^пол.й И
если взаимодействие негравитационных полей с гравитационным полем
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 222 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed