Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
м м
где dp, — некоторый предпочтительный элемент объема, скажем тот, который
связан с метрикой: dp(g)=[det(g,;)],/*dx1A . . . f\dxn, и <,> означает
внутреннее произведение в слоях. Однако надобность в этой структуре
отпадает, если используется естественное сопряжение.
Дифференциальный оператор D является эллиптическим, если он обладает
инъективным (главным) символом. Для каждого х в М и для каждого | С Т’М =
(слой в кокасательном расслоении) символ <j|(D) есть линейное отображение
из слоя Ех в слой Fx. По заданному выражению D в картах символ a|(D)
получается подстановкой компонент | С Т'ХМ вместо соответствующих частных
производных в членах с производными наибольшего порядка. Таким образом,
oj(x) для каждой координаты на Fх является однородным полиномом степени k
по компонентам |. Например, символом для обычного лапласиана V2=^д2/дх*
является a|(V2)=lllll2-
Для эллиптических операторов имеет место следующая основная теорема
расщепления.
Альтернатива Фредгольма: теорема 10
Если D или D*—эллиптический оператор, то W,s,p(/:’) = im D0 0 ker D*, где
сумма есть L2-ортогональная прямая сумма.
Доказательство предложения 9. Рассмотрим отображение
&С'. T*<dh+-Cj', (g, я)•—(g, л). Покажем, что при выполнении условия Сэс
D.^ (g, л)'-Т(g, л) (Т*аЖ) = SgxSj »? Тsi (g, Я) Су = Су есть
сюръективное отображение с таким ядром расщепления, что
//. Проблема начальных данных
111
SK является погружением в окрестности (g, л). Используя пространства
Соболева и теорему о неявной функции и переходя затем к классу С” через
требование регулярности, мы получим, что С#= = ,'^_1(0) является гладким
подмногообразием в окрестности (g, л).
Из теоремы 10 следует сюрьективность D9C(g, л) при условии, что его Lj-
сопряжение
[DiSf(g, л)]*:С® —? SJxS„
[D^f(g, л)]*ЛГ = |— NSg(nt л) +
+ [NEin(g) — HessJV — g&N]*d\i(g), 2N [(я')1’—у (tr л') g]j
инъективно и обладает инъективным символом. Этот символ для [DSV(g, л)1 *
имеет вид
og[Di?(g, n)]* = [(-Z®l+gnf)*dli(g), 0]:
R — ((Т'ХМ ® T‘xM),ym dii (g), (TXM ® TxM)^m)
для l?T!M. Для s?R, 1=^=0 из (—|®?+g||S||2)s=0 после взятия следа
следует, что 2||?||2s=0, а отсюда s=0, т. е. символ инъективен. Любое N
?ker[Djj?(g, л)] * удовлетворяет условиям
(I)— NSg(n, л) + [N Eing — Hess N — g AN]* dp.(g) = 0,
(II) 2N [(я')--g-(trn')g]=0.
Взятие следа условия (II) дает TV (tr л')=0, и потому из (II) вновь
вытекает Л/л=0. Таким образом, из условия (I) следует
(III) Л/ Ein(g)-HessW-gA7V = 0 След (III) дает
2AN + ±R(g)N = 0.
Однако из равенств 3V(g, я)=0 и Nn—О вытекает NR (g)=0. Отсюда
AN = 0
и, следовательно, Л/=const.
Если л=^0, то из Л/л=0 следует, что N=0, поскольку /V=const. Таким
образом, отображение [Dffl(g,ri)]* инъективно, а потому (g, л)
сюръективно.
Если я=0, то из (III) следует, что N Ein(g)=0, так как N= =const, и,
следовательно, N Ric(g)=0. Следовательно, если ЫфО, то Ric(g)=0, а потому
g — плоская метрика, так как dim М=3. Но плоская метрика g и л=0
исключаются условием С». Следовательно, N=0, и вновь отображение D9C(g,
л) сюръективно. Ц
112
А. Фишер, Дж. Марсден
Предложение 11
EcAti{g, я) ? &6={(g, л)|^(?,я)=0} с Т*а? удовлетворяет условию С6, то
166 есть гладкое подмногообразие многообразия Т*<Л в некоторой
окрестности {g, я} с касательным пространством
t(r. n)l?6 = ker[D^(g, я)].
Доказательство. Оператор, сопряженный к производной ^(g, я), определяется
соотношением
[Df(g, я)]* Х — (— Lxn, Lxg).
Символ инъективен (только из-за инъективности по второй компоненте).
Ядром отображения [D^(g, я)]* является {X/Lxn =О, Lxg=0), так что
инъективность (D^(g, л)] * совпадает в точности с условием С6. Искомый
результат вытекает тогда из теоремы о неявной функции, как в теореме 9.
Щ
Чтобы показать, что пересечение есть подмного-
образие многообразия Т*<Л, нужны дополнительные ограничения, поскольку
могут быть точки, в которых это пересечение не трансверсально. В такой
точке необходимо предположить, что (g, я) удовлетворяет условию t^' =
const.
Теорема 12
Пусть (g, я)?#жЛ#в удовлетворяет условиям С», Се и Ctr; тогда множество
связей С=С% Г) Сй есть С”-подмногообразие многообразия Т*аЖ в окрестности
«точки» {g, л} с касательным пространством
Т{е, я) % = ker ЭФ (g, л),
где Ф={#Г, Я-
Доказательство. Нам нужно показать, что отображение DO(g, я)=(0$?^, л),
Df(g,n)) сюръективно, когда (g, я)??, и удовлетворяет указанным условиям.
Сопряженным к нему отображением является
[DO(g, л)]*:С® х^ —-S$xSa,
(N, XMDO(g, ")]*-(iVt X) = [DM(g, n)]*.N + [Df{g,n)r-X.
Для %?T'XM, %ф0, как и прежде, можно показать, что символ этого
отображения, og[DO (g, я)]*-| ? Т*ХМ, инъективен (см., однако, замечания
о различных типах эллиптичности в работе [189]). Таким образом, остается
показать инъективность [DO(g, я)] *. Пусть (N, X) ? ker[DO (g, я)] *.
Тогда из формулы для (DO (g, я)]* имеем
(I) —NSg(n, я) + [iVEin (g) —(Hess Ng AN)]* d\i (g) — Lxn = 0,
(II) 2N [(я')--J- <tr 8] +1* M = °-
II. Проблема начальных данных
