Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
где gtj=(gi)i} и
Пусть kx.— кривая вторых фундаментальных форм вложенных гиперповерхностей
2а,=i\(M) и пусть я*— связанные с ними канонические импульсы. Основные
геометродинамические уравнения, введенные в работах [7, 32, 72, 63, 130],
содержатся в следующей теореме.
II. Проблема начальных данных
95
Теорема 1
Пусть на У4 выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна Ein(l4)g)=0. Тогда
для каждого однопараметрического семейства пространственноподобных
вложений многообразия У4 индуцированные ка метрики g>. и импульсы
удовлетворяют следующим уравнениям:
Уравнения эволюции
' | = 2лфл')--^гл')]+^.
= — 2N [я' х л' — (tr л') л' j dp. (g) +
+-jNg* [я' - я' —у (tr л')2]ф (g) - N Ric (g)—jR (g) g] *dp(g)+ + (Hess N
+ gAN)# d\i (g) + Lxn,
' Ж (g, л)= [n' n'-l(trn')2-R(g)]d|x(g) = 0, f (g, ") = 2 (M = —2я{л/ ==
0.
Уравнения связи
Обратно, если t\ есть разбиение (У4, <4’g), такое, что удовлетворяются
записанные выше уравнения эволюции и связи, то (4)g удовлетворяет
(вакуумным) уравнениям Эйнштейна.
В формулировке этой теоремы используются следующие обозначения:
(я'хя'),/=(я')'*(я'У; л'*я'=(л')'>(л'),у; Hess N*=NWi', AN=*—g(,N\m и
Lxn=(Lxn/)dp.(g)+n'(div X)dp (g) есть производная Ли тензорной плотности
n=n'd\i (g); заметим, что Lxd\i (g) = =(div X)dp(g); Тензор Риччи для
метрики (4,g обозначен как Ric((4)g), а для метрики g — как Ricg; R(g) —
скалярная кривизна для метрики g. Тензор Эйнштейна для метрики g
записывается
в виде Ein(g)=Ric(g)—^(g)g.
Набросок доказательства теоремы 1 будет дан после теоремы 3.
Двенадцать уравнений эволюции первого порядка для (g, я) соответствуют
шести уравнениям второго порядка U)Gi/=0, тогда как остальные четыре
уравнения Эйнштейна (4)G00=0 и <4)GJ=0 выступают в качестве уравнений
связи. Точнее говоря, в координатах, задаваемых разбиением t\, <4,Ze
имеет компоненты (4)ZC. = =(—N, 0). Если определить «поперечно-
поперечную» и «поперечнопараллельную» проекции тензора Эйнштейна
выражениями
‘4>Gj. 1 = ZaZp U)G“P = N2 WG00,
,4»Gi<—г«(4)0*4 =N{i)G° i,
TO
(g, я) = —2 <4>GX xd\i (g), f (g, я), = 2 (4>G/- dp (g).
Уравнения эволюции этой теоремы корректны, как показано в Разд. 4.
96
А. Фишер, Дж. Марсден
В формулировке теоремы 1 длительность и сдвиг рассматриваются как
независимо задаваемые величины. В формулировке «тонкого сэндвича» g и g
рассматриваются как данные Коши, я выражается как функция (g, N, X), и
затем из уравнений связи
N, Х)) = 0,
T(g> я (g. N, X)) = 0
находятся N и X [144]. При линеаризации легко убедиться, что это не
эллиптическая система, и поэтому, даже если ее и можно решить, здесь
возникает ряд технических проблем, в частности неизбежная потеря
регулярности. По этой причине большинство авторов отказалось от
формулировки «тонкого сэндвича». Относительно других трудностей этой
формулировки см. [55].
Важно обратить внимание на то, что многие члены в уравнениях эволюции АДМ
комбинируются в виде производных Ли, и мы учли это в самой записи теоремы
1. Полезно также записать квадратичную алгебраическую часть дп/&к в виде
Sg(л, я) = — 2-{л'хл' — y(trn')n'|dp(g) +
+ -j?# |я'-я'—-i-(tr n')*}dp(g).
Это выражение представляет собой «пучок» метрики Де Витта, т. е.
совокупность членов уравнения эволюции, квадратичных по л' (см. ниже, а
также работу [83]). Таким образом, в уравнении эволюции для л отдельные
члены можно интерпретировать следующим образом:
^? = NSg(n, n) — NEin(g)*d\i{g) + {HessN+gAN)*d\i(g) + Lxn.
геодезический «пучок» вынуждающая «сила» «противодействие» из-за
«сдвн-
метрнкн Де Витта потенциала скаляряой непостоянного N говый*
кривизны член
Дальнейшие сведения по геометрической интерпретации этого уравнения
читатель найдет в работах [65, 83, 121—123].
Для интерпретации этих уравнений в терминах симплектиче-ской структуры
кокасательного расслоения мы должны ввести следующие пространства.
Обозначим через <Л пространство рима-новых С“-метрик на М. и через
Й)=<2)(Л4) —группу диффеоморфизмов многообразия М. Через аФ-р при s>nlp
обозначим римановы метрики класса Соболева Ws-P ; диффеоморфизмы и другие
отображения, а также тензоры класса Ws-P будут обозначаться аналогично.
Однако для простоты обозначений мы ограничимся в этом разделе классом С“.
Пусть TadxaSxSi — касательное расслоение пространства 'Л, где, как и
раньше, S2— пространство 2-ковариантных симметричных тензорных полей
класса С" и S% —
II. Проблема начальных данных
97
пространство 2-контравариантных тензорных плотностей класса С°° на М.
Введем T*aS&aSxSl={(g, n)\g?a?, п gS$}. Будем рассматривать Т*аЛ как «/-
2-кокасательное расслоение к о#». Для k?Tga?&St, л ? T'gaMzzS2d имеется,
как объяснялось выше, естественное L^спаривание
(л. Щц = $ n-k.
м
При таком определении Т*а? является подрасслоением «истинного»
кокасательного расслоения. Поскольку Т*<Л есть открытое множество в S, х
S%, касательным пространством к Т*аЖ в точке (g, л) ? &Т*е? является
Tigtn)(T*c?)^SiXSl.
Мы покажем теперь, что Т*<Л обладает естественной симплек-тической
