Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
которые имеют решающее значение в нелинейных задачах. Попытка
промежуточного характера была предпринята в работе [84], а затем эта
формулировка была уточнена
1|ф||? = S [ао (*. х) Ф (*)] • Ф М dx,
ROT
то обнаружим, что
A(t)?G(Xt, 1,Р),
причем
т
<[х—Л(/)]Ф, Ф>,хх-р)|!ч>и.
II. Проблема начальных данных
119
и пояснена в работе Като [112]. Нынешняя единая формулировка,
предложенная в работе [1081, также принадлежит Като.
Теперь мы рассмотрим гиперболическую систему второго порядка. Она имеет
вид
. дги V .. \ д и . п V „ ы \ ,
а»о (*> х) д1г - ^ 2^ х) dxi дх/ + 2 2- ао< (*. х) д( дх1
+
т
+ a0(if х)-?• + Ха.(/> л:)^7 + а^> *)“• <3)
(=i
где опять u{t, ааР, аа, а — матричные функции NxN, а
также предполагается, что sXVjm+l и
(I) имеются постоянные матрицы я?р, а“, а“, такие, что
Оар-aSo. a-a“€Lip([0, Г]; H*-*(R*)) с Lm ([0, Т]\ ^*(R-));
(II) aaP симметрична;
(III) a00(t, x)^scl для некоторого с>0;
(IV) сильная эллиптичность: имеется е>0, так что
М / m \
2 al,(t,x)U^s( 2 I?
i.i= I \/ = 1 /
(матричное неравенство) для всех ? = (?и • • •, € К*-
Теорема 15
При этих условиях предположения теоремы 13 справедливы, если принять, что
Х = Я> (R»)xH° (К”),
К = Я5'+| (К”) х Я5'(К”), l<s'<s,
S = (l-A)s72x(l-A)s'/a,
* w'"(«? [s«« ?+*] «й [5Г+-. L
(замыкание этого оператора на Со,), т. е. уравнение (3) порождает сильную
эволюционную систему в X, которая отображает Y в Y.
Здесь мы записали (3) обычным образом, как систему для (и, и) (первого
порядка по времени).
Используем норму
И(ф. Ф)|<= ^ ац((’ x)-foT ' -^]- + c<f 4> + aoAi,
*)ф'ф
dx,
120
А. Фишер, Дж. Марсден
где постоянная с выбирается достаточно большой. Ввиду неравенства
Гординга это дает эквивалентную норму на X (если воспользоваться сильной
эллиптичностью). Тогда прямыми вычислениями получаем оценку
для чего, как и прежде, нужно показать, что
<[Х —Л(0] М, ы>,ХХ-Р)|иВ.
Можно также показать, как это сделано в работе [181], что ^—A (t) есть
одно-однозначное отображение на X, поэтому A (t) € G (Xt, 1, (3), причем,
как и выше, Ц-llt зависит от t экспоненциально и, следовательно, A (t)
есть устойчивое семейство.
И вновь доказательство ограниченности В (t) требует получения оценок для
коммутаторов; подробности см. в работе [108].
Для дальнейшего использования в нелинейной задаче предположений о
дифференцируемости (и в лемме 22) очень важно, чтобы они были именно
такими, как они здесь сформулированы.
Замечание. Ясно, что аналогичным образом можно трактовать комбинированные
системы таких уравнений, поскольку абстрактная теорема 13 включает как
частные случаи системы (2) и (3). Это существенно для некоторых видов
взаимодействия материальных полей с гравитационным полем.
Теперь обратимся к нелинейной задаче. Как и выше, пусть X и Y — банаховы
пространства, причем Y плотно и непрерывно содержится в X. Пусть WcY есть
открытая область, 7Ъ>0 и пусть G : [0, 71 х W-+X — некоторое данное
отображение. Нелинейное эволюционное уравнение имеет вид
it(t) = G(t, u(t)), где m = (4)
Если даны [0, 71 и 0? 1У, то кривая-решение (или интегральная кривая) для
G со значением ф в s есть отображение «(•) € C°([s, 71, W) П (fs, 71, X),
такое, что на [s, 71 выполняется
(4) и «(s)=0.
Если эти кривые-решения существуют и единственны для ф в открытом
множестве UcW, мы можем ввести эволюционные операторы FttS: U-rW, которые
отображают m(s)=0 на u(t). Будем говорить, что система (4) корректна (или
коши-устойчива), если оператор непрерывен (по К-топологии на U и W) при
любых s, t, удовлетворяющих условию Заметим, что непрерыв-
ность F,iS (0) по (t, г, ф) вместе вытекает из общих гипотез 130]. Более
того, если имеется корректность для малых временных интервалов, легко
доказать ее для максимально расширенного потока.
Установить корректность в конкретных, особенно «гиперболи-
//. Проблема начальных данных
121
ческих», случаях может оказаться затруднительным. Непрерывность оператора
Fts из У в У, вообще говоря, нельзя заменить более сильными условиями
гладкости, такими, как непрерывность по Липшицу или даже по Гёльдеру;
Като [112] дал простой пример, показывающий это, а именно уравнение 0
в У=*Я5+1,
X=HS на R. Эти вопросы гладкости будут обсуждаться ниже.
Наиболее строго изучены те нелинейные эволюционные уравнения, которые
приводят к нелинейным сжимающим полугруппам, порожденным монотонными
операторами [20]. Их эволюционные операторы иногда бывают определены на
всем пространстве X. Это нетипично для гиперболических задач, где
оператор Ft s может быть определенным лишь на У, непрерывным при
отображении из У в У, дифференцируемым при отображении У в X и У-локально
липшицевым при отображении из X в X, не будучи Х-локально лип-шицевым при
отображении из X в X или У-локально липшицевым при отображении из У в У;
это легко увидеть в приведенном выше примере.
Конкретизируя (4), рассмотрим квазилинейную абстрактную задачу Коши
й = A(t,u)u + f(t,u), 0и (0) = ф, (5)
где и принимает значения в X и А (/, и) есть (неограниченный) линейный
