Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
34 С. У. Хокинг
нни g-+g', в результате которого R' всюду оказывается того же знака, что и X0- Таким образом, если наименьшее собственное значение положительно, то функция Грина А-1 (х, г) нигде не обращается в нуль. Следовательно, метрика g* не сингулярна. С другой стороны, если наименьшее собственное значение отрицательно, то A-1 (jc, z) обращается в нуль и метрика g* сингулярна. Интерпретацию этого факта я приведу немного ниже.
Действие метрики g* (если отбросить член С) имеет вид
I IgT = ^A-1 (г, г). (3.11)
Разумеется, оно бесконечно, так как при x — z функция Грина расходится, но действие обращается в бесконечность также, если поверхностный член
-Jr S JC (A)'* Л
вычислить по 3-сфере бесконечного радиуса. Чтобы действие стало конечным, из поверхностного члена необходимо вычесть (бесконечное) значение, принимаемое им на плоском пространстве. В конформно компактифицированной процедуре это соответствует регуляризации функции Грина A-1 (z, z). Правильный результат мы получим с помощью процедуры конформно инвариантной размерной регуляризации с введением дополнительных плоских размерностей. Такая процедура эквивалентна регуляризации с помощью дзета-функции [12, 13] плюс поправочный член Я/288п2.
Гипотеза положительного действия [4—6] утверждает, что Действие любой регулярной асимптотически евклидовой метрики с ^=O неотрицательно, причем оно равно нулю в том и только в том случае, если метрика плоская. В терминах конформной компактификации эта гипотеза сводится к тому, что функция Грина A~l(z, z) больше или равна нулю для всех (м, g), на которых оператор А не имеет отрицательных или нулевых собственных значений. Гипотеза положительного действия представляет собой аналог (для размерности, большей на единицу) гипотезы положительной энергии из обычной общей теории относительности (последняя гипотеза теперь -доказана
[14]).
Функция Грина допускает разложение
A-1 (г, г) = ? V (z) фп (z). (3.12)
Регуляризация обращает A~l(z, z) в нуль для стандартной метрики на S4. При деформации метрики от исходной сферической Наименьшее собственное значение убывает, и функция Грина A-1 (z, z) становится положительной. Если метрика деформи-
1. Евклидова квантовая теория гравитации 35
руется настолько, что проходит через нуль, то А-1 (г, z) проходит через бесконечность и становится отрицательной, а конформный множитель А-1 (лг, z) проходит через нулевое значение.
Для получения физической интерпретации полезно сравнить описанную ситуацию с задачей Коши в классической общей теории относительности, которую можно сформулировать следующим образом. Возьмем компактное 3-мерное многообразие S с гладкой метрикой Я. Выберем на нем точку г и переведем ее в бесконечность с помощью конформного множителя а>(х) = = 4яА~1(л:, z), где А-1 теперь функция Грина для 3-мерного конформно инвариантного оператора. Тогда метрика А* = со4Я будет асимптотически плоской и R* = 0. Следовательно, метрика А* удовлетворяет условию симметричной по времени задачи Коши (несимметричная по времени задача Коши допускает аналогичное решение). Масса Арновитта — Дезера — Мизнера определяется регуляризованным значением 8лЛ~1(г, z).
Стандартная метрика на 3-сфере задает начальные данные для плоского пространства. Деформируя метрику Я от исходной сферической метрики, мы получаем начальные данные для симметричной по времени коллапсирующе-взрывающейся гравитационной волны — волны с положительной энергией или массой. Нарастая, интенсивности волн достигают критического уровня, при котором энергия волны становится столь большой, что она сворачивает начальную поверхность и отсекает ее от бесконечности. Достижение порога соответствует прохождению через нуль собственного значения оператора А. Превысив пороговый уровень интенсивности волн, мы попадаем в новый класс начальных данных, соответствующих черным дырам с видимым горизонтом событий-[15]. Такие начальные данные можно получить из пары (S, Я) с неотрицательными собственными значениями, если с помощью конформного множителя CO (х) — = 4яА-1 (х, Zi) + 4яА-1 (х, Z2) перевести в бесконечность две
ТОЧКИ Zi И 22.
Аналогичной процедурой разумно воспользоваться и в квантовой гравитации. Вместо того чтобы для получения асимптотически евклидовой метрики переводить в бесконечность одну точку z компактного многообразия М, на этот раз для получения метрики с п асимптотически евклидовыми областями можно перевести В бесконечность п точек Zu Z2, . . . , Zn. Это можно сделать с помощью конформного множителя
(О (х) = 4л2 Ц А-1 (х, у) J (у) (?)'/» йАу, (3.13)
где «ток бесконечности» J (у) определяется соотношением
Hy)= L S (У. Za).
(3.14)
36 С. У. Хокинг
Действие метрики g* — сo2g с R* = О имеет вид
/ fe*] = Gn3Jz(X)A-1 (х, у) J {у) (?)1/* (g)'h d* Xdiy = Qn3JA-1J.
(3.15)
Амплитуда перехода из вакуума в вакуум, или, точнее, из одних вакуумных состояний в другие, соответствующая многообразию Mcn точками, удаленными в бесконечность, представима в виде
Zn=^D [{в}] (det A)~'/s exp (- Gn3JA-1J), (3.16)
