Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
OO
ZlЛ]= J Ar(V)exp(— AV/8n)dV. (5.2)
о
Следовательно, N(V) —обратное преобразование Лапласа:
N {V) = IeW S Z № exP dA’ (5-3)
где контур выбран параллельно мнимой оси Л и справа от осог бенности в Z [Л] при Л = 0. При таком выборе контура JV = O при V Sg: 0.
Интеграл (5.1) для Z допускает разложение на интеграл, взятый по конформным множителям Q, принадлежащим одному классу конформной эквивалентности {е} тетрадных полей:
Y [{е}], А] = 5 D [Q] exp (- 7 [Qe]), (5.4)
от которого в свою очередь берется континуальный интеграл, распространенный на классы конформной эквивалентности:
Z [Л] = J D [{е}] Y [{е}, А]. (5.5)
При конформном преобразовании ё = Qe действие (включая Л-член) переходит в
Т[ё] = _ J (3QAQ - AQ4) (е) d*x. (5.6)
Таким образом, Z[А] можно рассматривать как среднее в Х<р4‘ теории по всем классам конформной эквивалентности метрик. Точкой стационарной фазы в интеграле (5.4) по конформным множителям является метрика —h.A-'g', в которой R = 4А,
V = h2А-2 и / = —/г2/8яА. Величина h зависит от класса конформной эквивалентности и стационарна на тех классах эквивалентности, для которых g' — решение уравнений Эйнштейна с А-членом:
Rab-^ Rgab+ Agab = Q- (5-7)
На компактных многообразиях, таких, как S4, С/52 и S2 X несколько решений известно в явном виде. Ho действительный интерес представляют решения на очень сложных одаосвязных многообразиях с большой эйлеровой характеристикой и сигнатурой. Хотя нельзя надеяться, что та?ие метрики удастся прочить в явном виде, действие метрик со сложной топологической
44 С. У. Хокинг
структурой все же удается оценить. Для решения уравнений
(5.7) получаем
*= W S (CabcdCabcd + 4 Л2) (е) d% (5.8)
т=4h-VC«b<*'CabCd)(e)d*x- (5-9)
Комбинируя соотношения (5.8) и (5.9), приходим к неравенству
2х-3|т|>-^; (5.10)
равенство имеет место в том и только в том случае, если тензор Вейля автодуален или антиавтодуален.
Нижняя граница величины h для решений уравнений (5.7) равна —(24)т. е. равна значению h для стандартной метрики на S4. Если хфО и если многообразие допускает спинор-ную структуру, то h ^ 0. Соотношения (5.8) и (5.9) позволяют ожидать, что при больших эйлеровых характеристиках h ~ й%Чг, где d ^ 2(3)'?. Эта оценка подтверждается несколькими примерами, построенными Хитчином, из которых следует, что большинство решений заключено в интервале
2</гя < d < 22я. (5.11)
Можно надеяться, что значение статистической суммы Z [А] удастся получить, разлагая метрику или тетраду в ряд теории возмущений в окрестности каждого решения классических полевых уравнений. При малых Л действия таких решений четко разделены, и мы получаем хорошее «приближение разреженного газа». Ho при больших Л флуктуации вокруг одного решения могут изменить топологию и наложиться на флуктуации вокруг другого решения; этот эффект не будет подавлен, поскольку он не увеличивает сколько-нибудь значительно действие. Один из способов, позволяющих избежать наложения флуктуаций,
состоит в добавлении к действию члена ^ R2 (е) d*x, фиксирующего конформную калибровку, в которой вычислен континуальный интеграл (5.4), взятый по конформным множителям. При этом интеграл для Z принимает следующий вид:
Z [A] = J D [Q] D [е] det аА exp (- / [е, Q]), (5.12)
где
7[е, Q] — - -щ- 5 (3QAQ - AQ4 — SnaR2) (е) d*x - 16аА2 [е0].
(5.13)
Член detaA в (5.12) —дух Фаддеева — Попова, а последний член в (5.13) введен для того, чтобы член, фиксирующий кали-
1. Евклидова квантовая теория гравитации 45
бровку, обращался в нуль на решении е0. В отличие от действия ^/?(е)й!4л: член ^ R2 (е) й*х, определяющий калибровку, по-видимому, не остается ограниченным, когда метрика меняет топологию, проходя через вырожденную метрику. Это могло бы ограничить разложение в ряд по теории возмущений топологией того решения, в окрестности которого производится разложение, и воспрепятствовать наложению на разложения в ряд по теории возмущений, производимые в окрестности других рещег
ний. Таким образом, обращение члена ^/?2(е)с?4л: в бесконечность могло бы привести к разложению в ряд теории возмущений, которое по крайней мере формально перенормируемо. То обстоятельство, что это был лишь член, задающий калибровку, а не часть самого действия, возможно, позволит избежать некоторых патологий, связанных с такими членами.
Намеченный нами подход не привел пока к каким-либо новым результатам. Тем не менее ничто не мешает оценить обычный однопетлевой член L в окрестности решения с эйлеровой характеристикой х
І-(?Г- <514>
где у — проинтегрированная аномалия следа для гравитации [26]:
106х_ _73А1 ,
Y 45 ^ 120л2 ’ ' '
а величина Ло связана с нормировочной константой ц. Таким
образом, метрика с эйлеровой характеристикой % дает вклад
в Z вида
(т^)-УехР(^Л_І), (5Л6)
где b = с?2/8я. Это дает точку стационарной фазы в обратном преобразовании Лапласа (5.3) для N(V) при A = As, где
Л, = 4я1/-‘|У±(У +^)‘/г]. (5.17)
Сравнивая вклады от метрик с различными %, мы видим, что основной вклад соответствует соотношені )
