Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Все перечисленные метрики обладают автодуальной или антиавтодуальной кривизной, что позволяет сформулировать обобщенную гипотезу положительности действия: любая асимптотически локально евклидова метрика с R = О обладает положительным или нулевым действием, причем действие обращается в нуль в том и только в том случае, если кривизна автодуальна или антиавтодуальна. В пользу такой гипотезы говорит следующий факт: как нетрудно показать, из всех метрик с R-O локальными минимумами действия являются автодуальные или антиавтодуальные метрики. Если обобщенная гипотеза верна, то они же являются глобальными минимумами действия среди АЛЕ-метрик с R — 0, подобно тому как автодуальные или антиавтодуальные инстантоны Янга — Миллса являются глобальными минимумами действия Янга — Миллса. Поэтому можно ожидать, что метрики, достаточно близкие к автодуальным или антиавтодуальным, дают основной вклад в амплитуды переходов, определяемые граничными условиями.
Особенно интересное приложение эти идеи находят в теориях супергравитации [20]. В автодуальной метрике кривизна, воспринимаемая штрихованными спинорами, равна нулю, поэтому существуют два независимых ковариантно постоянных
1. Евклидова квантовая теория гравитации 3§
спинора iA, и од,, которые можно выбрать так, чтобы выполнялись соотношения
ществуют т автодуальных гармонических 2-форм (полей Максвелла), которые являются нормируемыми, т. е. квадратично интегрируемыми, и нет нормируемых антиавтодуальных гармонических 2-форм. Автодуальные гармонические 2-формы можно представить посредством т симметричных спиноров, удовлетворяющих уравнению для спина 1
Умножая на тот или другой ковариантно постоянный спинор, мы получаем 2т нулевых мод уравнения Майораны для спина 3/2 в калибровке YaIpa = 0:
Где фiABA'~ ^AB0-iA" Ни одна из этих мод не принадлежит К числу чисто калибровочных, т. е. не имеет вида Vaa,<рв. Умножая на другой ковариантно постоянный спинор и симметризуя по индексам со штрихами, мы получаем Зт поперечных нулевых' мод с нулевым следом уравнения для возмущений метрики в гармонической калибровке
He более трех таких Мод (в зависимости от дискретной груїр пы G) могут быть чисто калибровочными и отвечать глобальным вращениям инстантонов в асимптотически локально евклидовом пространстве. Соотношения между нулевыми модами с различными спинами в действительности представляют собой глобальные преобразования суперсимметрии с ковариантно постоянными спинорными параметрами.
Действие фонового автодуального АЛЁ-инстантона равно йулю и поэтому не дает вклада в InZ. Однопетлевой член в простой супергравитации можно представить в виде
(4.1)
В АЛЕ-автодуальной метрике В% = х и B^ = O, поэтому су-
(4.2)
(4.3)
(4.4)
Где
ФвЬв'С' — fPecaB1Cd
det В (det С)1/2
(4-5)
(det Е)'1г (det Ffh ’
где В — векторный оператор духов, соответствующий выбору калибровки относительно диффеоморфизмов, С — оператор спина 3/2 (он входит в степени 1/2, так как мы имеем дело с полем
40 С. У. Хокинг
Майораны), E — оператор возмущения метрики в уравнении
(4.4), a F — суперсимметрийный оператор духов со спином 1/2 (он входит в степени 3/2, так как мы имеем дело с полем Майораны, и при усреднении по суперсимметрийным калибровкам возникает множитель (detF)-Vj [21]). Кроме того, существуют б нераспространяющихся компонент тетрады и б не-распространяющихся компонент вспомогательных полей [22, 23], но они взаимно уничтожаются с 12 нераспространяющи-мися духами тетрадных вращений.
Глобальные преобразования суперсимметрии позволяют установить соотношения между ненулевыми модами операторов В, С, Е, F [20]. Кратности таковы, что в однопетлевом члене
(4.5) ненулевые собственные значения полностью уничтожаются. Тем самым бесконечномерный однопетлевой континуальный интеграл вырождается в конечномерный интеграл по нулевым модам. Такого рода взаимное уничтожение бозонных и фермион-ных операторов — одна из наиболее привлекательных особенностей теорий супергравитации. Она позволяет питать надежду, что этим теориям удастся придать некий разумный математический смысл. Вместе с тем необходимо отметить, что на обычном языке диаграмм Фейнмана однопетлевой член (4.5) обладает логарифмической расходимостью, поскольку числитель и знаменатель имеют различное число нулевых мод (доказательство того, что все однопетлевые члены в супергравитации конечны, применимо лишь к топологически тривиальным метрикам). Однопетлевой член вводит параметр ц, отражающий вклад меры на нулевых модах. Единого мнения относительно выбора этой меры пока не существует.
Гравитационные нулевые моды оператора E (их число равно Зт) соответствуют глобальным вращениям, растяжениям и другим автодуальным возмущениям инстантонной метрики. Для их рассмотрения удобно ввести коллективные координаты для ориентации, масштаба и других характеристик инстантона, которые приводят к появлению множителя вида
цЗтрбт-і dp,
где р — некоторый характерный размер инстантона. Нулевые моды со спином 3/2 оператора С (их число равно 2т) входят в (4.5) в числитель и в отсутствие источников обращают в нуль амплитуду Z перехода из вакуума в вакуум. Вклад источников описывают, добавляя член
