Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Эйлерову характеристику % и сигнатуру т можно представить в виде следующих интегралов от кривизны:
X = 72^2- 5 RabcdRef ehZabefiCdgh (§)'1г + поверхностные ЧЛЄНЬІ,
(3.2)
T = ^ RabcdRabefZcdef (&)'/г + поверхностные ЧЛЄНЬІ. (3.3)
Поверхностные члены в общем случае имеют довольно сложный вид, но в асимптотически евклидовом случае каждая асимптотически евклидова область дает вклад, равный единице, в % и вклад, равный нулю, в т.
Эйлерова характеристика % определяется соотношением
X = B0-в,+ B2-B3+ B4; (3.4)
р-е число Беттй Bp равно числу независимых замкнутых р-поверхностей, не являющихся границами некоторой (р + 1)-поверх* ности. Для компактного многообразия Bp равно числу квадратично интегрируемых гармонических р-форм. Для компактного
32 С. У. Хокинг
многообразия Bp = B4^p и B0=B4=I. Если многообразие односвязно, то Bi = B3 = 0, поэтому % ^ 2.
Мне кажется правдоподобным, что следует рассматривать только односвязные многообразия. В этом случае % и т позволяют классифицировать компактные многообразия, допускающие спинорную структуру, с точностью до гомотопии. Высказывалось (Пуанкаре) предположение о том, что % и т позволяют классифицировать многообразия с точностью до гомеоморфизмов. Можно доказать, что для неодносвязных 4-многообразий схемы классификации не существует.
Гармонические 2-формы (поля Максвелла), число которых равно B2, можно подразделить на автодуальные и антиавтоду-альные 2-формы (число которых равно соответственно Bi и B2-). Тогда т — Bi -B2- Сигнатура т также равна 8(п+—п~), где п+ и п~— числа нулевых мод безмассовых уравнений Дирака с положительной и отрицательной спиральностью.
В теории Янга — Миллса евклидово пространство R4 удобно компактифицировать, дополняя бесконечно удаленной точкой, чтобы превратить многообразие в S4. Исходную плоскую метрику можно восстановить по метрике на S4 с помощью конформного преобразования, переводящего добавленную точку в бесконечность. Аналогичная процедура применима и в гравитационном случае: асимптотически евклидово многообразие
можно конформно компактифицировать, дополнив точкой на бесконечности, но получающееся при этом компактное многообразие не обязательно будет S4, а может быть любым многообразием, допускающим спинорную структуру. Последнее утверждение можно было бы рассматривать как точное определение того, что понимается под асимптотически евклидовым аналогом предложенного Пенроузом определения асимптотически плоского лоренцева многообразия [11]. Начать следует с компактного многообразия, наделенного гладкой положительно определенной метрикой, выбрать некоторую точку г и конформным преобразованием перевести ее в бесконечно удаленную точку. В результате мы получим асимптотически евклидову метрику с эйлеровой характеристикой, на единицу меньшей эйлеровой характеристики компактного многообразия, но с той же сигнатурой.
Амплитуду перехода из начального вакуума в конечный можно представить в виде континуального интеграла, взятого по всем асимптотически евклидовым метрикам на (односвязном) многообразии M с заданными значениями % и т:
z = (0_ |0+>= J D[е]ехр(— /И). (3.5)
Этот континуальный интеграл можно разложить в интеграл по конформным множителям Q', в свою очередь интегрируемый по
1. Евклидова квантовая теория гравитации 33
конформно эквивалентным классам {ететрад. При конформном преобразовании
ёа = Qea> Sab = S2Sab (3*6)
действие принимает вид
I [Qe] = - TST J m + 60; bgab)(g)'b d*x - ±\&m'Wx+C.
(3.7)
Поверхностный член вычисляется по большой сфере в асимптотически евклидовом пространстве, а постоянная С выбирается так, чтобы исключить из поверхностного члена значение, соответствующее плоскому пространству. Чтобы вычислить интеграл по конформным множителям, необходимо прежде всего иайти конформный множитель со, равный единице на граничной поверхности и такой, что для метрики gab = ePgab всюду выполняется равенство R* = 0. Нахождение со можно рассматривать как своего рода выбор конформной калибровки. Действие метрики g* полностью определяется поверхностным членом. Затем следует проинтегрировать по конформным множителям Q вида 1 + у, где у = О отвечает метрике gl и у обращается в нуль на границе. Так как кинетический член (Vy)2 входит со знаком минус, интегрировать следует по мнимым значениям у [4]. Производя вычисления, получаем
(det (ц-2А))-‘/гехр (- /V]) = У [{ва}], (3.8)
где A = — ? + Я — конформно инвариантный скалярный оператор. Амплитуда перехода Z определяется после этого инте-гралом по всем классам конформной эквивалентности тетрад
Z=\D[{e)]Y[{e}]. (3.9)
Проделанная процедура может быть описана в терминах кон* формно компактифицированного многообразия M и метрики §> Выберем точку z на M и переведем ее в бесконечность конформ-ным преобразованием
со (х) — 4я2А-1 (х, z), (3.10)
где А-1 — функция Грина на компактном многообразии в ме* трике g. Тогда метрика g* = a>2g будет асимптотически евкли* довой. с R* = 0.
Пусть (Xn, ф„)—собственные значения и собственные функ* ции оператора А на (М, §). Собственная функция <р0, соответствующая наименьшему собственному значению Я0> всюду знакопостоянна, поэтому ее можно использовать в качестве конформного множителя в регулярном конформном преобразовав
