Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
где интеграл берется по всем классам конформной эквивалентности {е} тетрадных полей. Эту амплитуду можно просуммировать по числу и расположению точек, переводимых в бесконечность, и интенсивностям волн, или, что эквивалентно, по всем «токам бесконечности» /. В результате суммирования мы получим множитель (detA_1)'/j, который сокращается с множителем (detA)-1/j, возникающим при интегрировании по конформным множителям.
Остается интеграл по классам конформной эквивалентности тетрадных полей. Компоненты е™ тетрады образуют в точке х 16-мерное векторное пространство. Отождествляя тетраду с компонентами ва и тетраду Qea при любом ненулевом Q, т. е. рассматривая классы конформной эквивалентности, мы сводим это векторное пространство к компактному 15-мерному проективному пространству конформных тетрад, факторизованному до 9-мерного компактного пространства конформных метрик по группе тетрадных вращений 50(4). Так как пространство конформных тетрад компактно в каждой точке, на нем можно задать меру, имеющую единичный объем. Тогда континуальный интеграл, взятый по классам конформной эквивалентности тетрадных полей, будет равен единице, в силу чего
IlZa = L (3.17)
Напрашивается мысль просуммировать также по всем возможным топологиям компактного многообразия М. Ho я считаю, что в действительности эта операция эффективно выполняется при интегрировании по всем конформным тетрадным полям. Дело в том, что в общем случае существуют трехмерные поверхности, на которых det(ea) = 0 и метрика вырождена. Нулевой вектор матрицы е%, вообще говоря, не принадлежит поверхности det(e)^=0. Это обстоятельство позволяет ввести новые координаты или, что эквивалентно, перейти к другому многообразию с иной топологией, на котором тетрадное поле
1. Евклидова квантовая теория гравитации 37
и метрика не вырождены. В общем случае существуют также двумерные поверхности, на которых нулевой вектор матрицы ва принадлежит поверхности det(e)=0. Скалярная кривизна R может быть на этих поверхностях сингулярной, но она остается интегрируемой, поэтому действие определено и на них. Таким образом, интегрирование по всем конформным тетрадным полям или, что эквивалентно, по всем конформным положительно полуопределенным метрикам эффективно включает суммирование по всем топологиям многообразия.
Этот замечательный результат был получен без какой бы то ни было регуляризации, так как расходимости при континуальном интегрировании по конформным множителям в точности компенсируют те расходимости в действии асимптотически евклидовых метрик, от которых обычно приходится избавляться вычитанием значения поверхностного члена для плоского пространства. Соотношение (3.17) можно было бы рассматривать как условие унитарности для гравитации с учетом всех топологических возможностей. Однако такое утверждение носит несколько формальный характер. Более желательно было бы воспользоваться намеченным подходом для вычисления физических амплитуд и вероятностей. Должен признаться, что мне пока не удалось осуществить эту программу, хотя кое-какие смутные идеи на этот счет у меня имеются. По-видимому, большинство конформных метрик (и все метрики со спинорной структурой и ненулевой сигнатурой Хирцебруха т) обладают отрицательными или нулевыми собственными значениями оператора А. Это означает, что метрика g* со стационарным действием в своем конформном классе содержит области, отгороженные от бесконечности. Однако в том же классе конформной эквивалентности существуют и другие метрики, для которых эти области не отгорожены от бесконечности. Им должны соответствовать какие-то физические эффекты, хотя вероятности этих эффектов малы, поскольку области замкнуты в метрике со стационарной фазой. Относительно того, в чем состоят эти эффекты, можно высказать чисто умозрительные догадки. В частности, они могли бы соответствовать виртуальным черным дырам, которые появляются, поглощают одну частицу, испускают частицу другого сорта с тем же зарядом, импульсом и угловым моментом и затем исчезают.
4. Асимптотически локально евклидовы метрики
При масштабном преобразовании g-+k2g (k—константа) действие преобразуется, как /~>?2/. Отсюда следует, что действие любой асимптотически евклидовой метрики, являющейся решением уравнений Эйнштейна, должно быть равно нулю, так
88 С. У. Хокинг
как на такой метрике действие достигает экстремума по всем возмущениям, включая растяжения или сжатия. Ho гипотеза положительности действия утверждает, что любая асимптотически евклидова метрика с R = 0 обладает положительным или нулевым действием, причем действие обращается в нуль в том и только в том случае, если метрика плоская. Следовательно, если эта гипотеза верна, не могут существовать нетривиальные асимптотически евклидовы вакуумные гравитационные инстан-тоны, т. е, полные несингулярные решения вакуумных полевых уравнений. В то же время гипотеза положительности действия отнюдь не исключает возможности существования вакуумных инстантонов, которые являются асимптотически локально евклидовыми (АЛЕ). Иначе говоря, вне некоторой компактной области такие инстантоны стремятся к евклидовой метрике на плоском пространстве, профакторизованном по какой-то дискретной подгруппе G группы 50(4). Первый АЛЕ-инстантон был получен Егучи и Хансоном [16]. Этот инстантон асимптотически стремится к евклидову пространству, в котором точка ха отождествлена с точкой —ха, и соответствует переходу из начального состояния в его образ при ГР-преобразовании. Несколько новых АЛЕ-инстантонов были получены в явном виде Гиббонсом и мною [17] ив неявном виде Хитчином [18] с помощью твисторной техники Пенроуза [19]. Эти инстантоны соответствуют более широким дискретным подгруппам G, и их физический смысл пока не ясен.
