Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
I6ltV0
^ ~ 13503 ' (2-11)
Его можно интерпретировать как статистическую сумму тепловых гравитонов в плоском пространстве. Многопетлевые члены, если бы они имели смысл, что сомнительно, описывали бы эффекты взаимодействия между этими гравитонами.
Метрика Шварцшильда представляет собой еще одно решение, удовлетворяющее заданйым граничным условиям. Эту метрику обычно записывают в виде
rfs2 = - (l — ) dt2+(\ — dr2 -f r2dQ2. (2.12)
Полагая t =? —ix, преобразуем ее в положительно определенную метрику при г >• 2М. При г = 2M она имеет кажущуюся особенность, аналогичную кажущейся особенности б начале полярных координат, в чем нетрудно убедиться, если ввести новую радиальную координату Jc = 4Af(l—M В новых переменных метрика имеет вид
ds2 =" (l^)2 dx2 + (їж)*dx2 + r2 dQ2- (2-13)
1. Евклидова квантовая теория гравитации 27
Она регулярна в точке х = О, г = 2М, если т считать угловой переменной, значения которой факторизованы с периодом 8лМ (я использую единицы, в которых G=I). Многообразие, задаваемое неравенствами х ^ 0, 0 ^ т ^ 8пМ, называется евклидовым сечением решения Шварцшильда. Метрика на нем положительно определенная, асимптотически плоская и несингулярная (особая точка кривизны при г — О не принадлежит евклидову сечению).
Метрика Шварцшильда удовлетворяет граничным условиям, если
*-?•
Так как R = О для метрики Шварцшильда, то действие определяется только поверхностным членом, что дает [3]
/==4яМ2 — 'jg~- (2.14)
Следовательно, фоновая метрика Шварцшильда вносит в InZ вклад, равный —р2/16я. По определению
2=?ехр(-Р?„), (2Л5)
где En — энергия п-го состояния гравитационного поля. Таким образом,
S Еп ехр (- Р?„) д
(E) = ^n Р\ = -Ir InZ. (2.16)
Zj exP (- Р?») 5P
Подставляя вклад —р2/16я в InZ от действия фоновой метрики Шварцшильда, получаем
(E) = ^ = M. (2.17)
Именно такого результата и следовало ожидать. Можно вычислить также энтропию, определяемую соотношением
S = — X Рл In Pn = P (?) + In Z, (2.18)
где рп = Z-1 ехр(—р?п)— вероятность того, что гравитационное поле находится в n-м состоянии. Применительно к фоновой метрике Шварцшильда это дает
5 = AnM2 = Л, (*)
где А — площадь горизонта событий. Это соотношение между внутренней гравитационной энтропией и площадью горизонта еобытий носит весьма общий характер. Оио обусловлено комбинацией дву? дричин; того, что гравитационное действие мае-
28 С. У. Хокинг
штабно неинвариантно (чем и обусловлена его неперенормируе-мость), и того факта, что евклидово сечение решения Шварц-шиЛьда обладает топологией S2 X S2, отличающейся от топологии S1 X R3 плоского пространства, факторизованного с периодом р [5]. Соотношение (*) не имеет аналогов в квантовой хромодинамике или других теориях с низшими спинами.
Однопетлевой член содержит слагаемое, зависящее от ц, вида
где % = 2 — эйлерова характеристика евклидова сечения решения Шварцшильда. Это слагаемое обусловлено
106%
45
дополнительными собственными значениями, размерности которых не сокращаются при регуляризации. Из этих дополнительных собственных значений три равны нулю и соответствуют трансляционным движениям черной дыры внутри ящика. Они дают вклад InZ, равный 1п(ц3р3К). С другой стороны, нерелятивистская частица с массой M в ящике объемом V при температуре р-1 имела бы статистическую сумму, пропорциональную У(ц|3-1)Ч Чтобы воспроизвести этот результат, нормирующую величину видимо, следует выбрать пропорциональной |3-1.
Собственные функции оператора А + В можно подразделить на два класса [4]. Во-первых, существуют собственные функции, соответствующие возмущениям метрики g, пропорциональным фоновой метрике g0. Они описывают конформные возмущения. Для возмущений в окрестности плоского пространства или любой метрики с R — 0 все собственные значения отрицательны. Следовательно, контур интегрирования конформного множителя необходимо повернуть так, чтобы он расположился параллельно мнимой оси. Остальные собственные функции имеют нулевой след и соответствуют неконформным возмущениям метрики. На плоском пространстве они все положительны, поэтому можно взять за правило интегрировать по вещественным классам конформной эквивалентности метрик. Ho для возмущений относительно фоновой метрики Шварцшильда одно из неконформных собственных значений отрицательно [6]. В однопетлевой член это собственное значение входит под знаком квадратного корня, что приводит к появлению в статистической сумме Z множителя і, так что Z становится чисто мнимой. Какой-то неприятности подобного рода от Z следовало ожидать, так как канонический ансамбль для гравитации разрушается из-за того, что гравитационное взаимодействие универсально притягивающее, . - •
1. Евклидова квантовая теория гравитации 29
Один из способов выразить это состоит в том, чтобы представить Z в виде преобразования Лапласа плотности состояний N(E), где N(E)dE — число состояний гравитационного поля в ящике с энергией между E и E + dE:
OO
Z [р] = J N (E) exp (- РЯ) dE. (2.19)
о
Плотность состояний N(E) при этом задается обратным преобразованием Лапласа:
