Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
-YX-1 In (-^) + ^=0. (5.18)
При A0 ~ 1 ему удовлетворяет х ~ V, т. е. на планковский объем приходится одна единица эйлеровой характеристики или один гравитационный инстантон.
46 С. У. Хокинг
ЛИТЕРАТУРА
1. Perry М. J., Nucl. Phys., В (to be published).
2. York J., Phys. Rev. Lett., 28, 1082 (1972).
3. Gibbons G. W., Hawking S. W., Phys. Rev., Dl 5, 2752 (1977).
4. Gibbons G. W., Hawking S. W., Perry M. J., Nucl. Phys., B (to be published).
5. Hawking S. W., Phys. Rev.,D (to be published).
6. Page D. N., Phys. Rev., D (to be published).
7. Hawking S. W., Phys. Rev., D13, 191 (1976).
8. Jackiw R., Rebbi C., Phys. Lett., 67B, 189 (1977).
9. Geroch R. P., J. Math. Phys., 9, 1739 (1968); 11, 343 (1970).
10. Isham C. 1., Spinor Fields in Four Dimensional Spacetime, Imperial College preprint, 1978.
11. Penrose R., Proc. Roy. Soc., A284, 159 (1965).
12. Dowker J. S., Critchley R., Phys. Rev., D13, 3224 (1976).
13. Hawking S. W., Comm. Math. Phys., 55, 133 (1977).
14. Yau S. T., Sehoen R., Incompressible Minimal Surfaces, Three Dimensional Manifolds with Non-Negative Scalar Curvature, and the Positive Mass Conjecture in General Relativity.
15. Hawking S. W., The Event Horizon in: Les Astres Occlus, ed. B. S. deWitt and C. M. deWitt, Gordon and Breach, 1973.
16. Eguehi T., Hanson A. /., Phys. Lett., 74B, 249 (1978).
17. Gibbons G. W., Hawking S. W., Gravitational Multi-Instantons, D. A. М. T. P. preprint.
18. Hilehin N., in preparation.
19. Penrose R., J. Gfen. Rel. and Gravitation, 7, 31 (1976).
20. Pope C. N., Hawking S. W., Symmetry Breaking by Instantons in Super-gravity, D. A. M. T. P. preprint.
21. Perry M. J., Nucl. Phys., B (to be published).
22. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., The Auxiliary Fields of Supergravity, CERN preprint.
23. Stelle К-, West P., Minimal Auxiliary Fields for Supergravity, Imperial College preprint.
24. Wheeler J. A., in: Relativity Groups and Topology, Proceedings of the Les Houches Summer School, 1963, ed. by B. S. deWitt and C. M. deWitt, Gordon and Breach, New York, 1964.
25. Hawking S. W., Spacetime Foam, D. A. M. T. P. preprint.
26. Gibbons G. W., Perry M. J., Quantizing Gravitational Instantons, D. A. M. T. P. preprint.
27. Duff M. J., Abstracts of Contributed Papers for GR VII Conferences, Waterloo, Ontario, 1977.
2. Пространственно-временная пена
С. У. Хокинг
Hawking S. W.'), Nuclear Phys., ВП4, 349 (1978)
1. Введение
Уилер [1] заметил, что в квантовой теории гравитации на мелкомасштабных расстояниях следует ожидать очень больших флуктуаций метрики и даже топологии пространственно-временного многообразия. Объясняется это тем, что в отличие от действия для полей Янга — Миллса или электромагнитного действие для гравитационного поля не обладает масштабной инвариантностью. Это означает, что сильные флуктуации метрики на мелкомасштабных расстояниях не обладают очень большим действием, поэтому их вклад в континуальный интеграл не подавлен. Более того, метрика может изменить топологию, даже если действие не возрастает больше, чем на произвольно малую величину. В этом можно убедиться с помощью исчисления Редже [2]. По схеме Редже пространственно-временное многообразие разлагают в симплициальный комплекс. Каждый 4-симплекс считается плоским и определяется длинами ребер (1-симплексов). Однако углы между гранями (2-симплексами) в общем случае таковы, что 4-симплексы невозможно объединить в плоское 4-мерное пространство. Таким образом, существует некое искажение, представимое в виде б-функции, сосредоточенной на гранях. Полное действие имеет вид
-^И«>'/,л=-т5г1ла,
где сумма берется по всем симплексам, At— площадь і-го 2-симплекса, б; — дефект і-го 2-симплекса, т. е. б; = 2я минус сумма углов между 3-симплексами, примыкающими к t-му 2-симплексу.
Симплициальный комплекс, на котором действие стационарно относительно малых вариаций длин ребер, можно рассматривать как дискретную аппроксимацию гладкого решения уравнений Эйнштейна. Вместе с тем можно считать, что исчисление Редже определяет действие на некотором классе метрик точно, без какой бы то ни было аппроксимации. Такое действие
') University of Cambridge, D.A.M.T.P., Silver Street, Cambridge, England.
SNorth-Holland Publishing Company Перевод на русский язык, «Мир», 1983
48 С. У. Хокинг
остается хорошо определенным и конечным, даже если длины ребер выбраны так, что некоторые симплексы вырождаются в симплексы меньшей размерности. Например, если а, Ь, с — длины сторон треугольника (ребра 2-симплекса), то они должны удовлетворять неравенствам а < b + с и т. д. Если а > Ь + с, то 2-симплекс вырождается в 1-симплекс. В общем случае симп-лициальный комплекс перестает быть многообразием при вырождении некоторых симплексов в симплексы меньшей размерности, но действие остается вполне определенным. «Раздув» некоторые из симплексов так, чтобы они превратились в симплексы большей размерности, можно получить новое многообразие с другой топологией. Раздувая и схлопывая симплексы, мы можем непрерывно переходить от одной метрической топологии к другой, причем действие будет неизменно оставаться конечным. С иной ситуацией мы столнулись бы, если бы гравитационное действие содержало, как предлагали некоторые авторы, члены, квадратичные по кривизне. Однако такого рода дополнительные члены, видимо, обладают весьма нежелательными свойствами [3].
