Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинг С. -> "Геометрические идеи в физике" -> 10

Геометрические идеи в физике - Хокинг С.

Хокинг С., Прасад М., Гиббонс Г., Феррара С. Геометрические идеи в физике — М.: Мир, 1983. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): geometricheskieidei1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 90 >> Следующая


П

где |фл> — полный ортонормированный базис состояний для поля ф. Статистическую сумму Z можно представить и в виде континуального интеграла

Z[p] = $Dfo]exp(-7fo]), ' (?.Я)

который берется по всем конфигурациям поля ф, вещественным в евклидовом пространстве. и периодическим с периодом P по евклидовой координате времени (т. е. периодическим по мнимому времени Минковского). Аналогичное представление статистическая сумма допускает и для бозонных полей с высшими спинами, но в случае полей с калибровочными степенями свободы, чтобы исключить нефизические степени свободы, необходимо включить духи Фаддеева — Попова. В аналогичном виде можно представить и статистическую сумму для фермионных полей, хотя в этом случае поля должны быть антипериодическими, т. е. изменять знак на обратный всякий раз, когда евклидова координата времени получает приращение р.

Было бы естественно определить аналогичным образом и статистическую сумму для теплового канонического ансамбля в случае гравитации.

Бесконечный объем тепловых гравитонов с бесконечной массой приводит к возникновению инфракрасных расходимостей. Чтобы избежать их, заключим систему, например, в сферический ящик радиуса го с идеально отражающими стенками. Разумеется, такая изоляция нефизична: невозможно изготовить

жесткий ящик с идеально отражающими стенками для электромагнитного излучения, не говоря уже о гравитационном излучении. «Создание» такого ящика приводит к трудностям вблизи стенок, но я пока не буду обращать на них внимание.. Мировая трубка сферического ящика, факторизованного с периодом |3 по евклидовой координате времени, определяет трехмерное многообразие дМ с топологией S2XS1 и положительно определенной метрикой h — произведением стандартной метрики 2-сферы радиуса г0 и одномерной метрики на окружности длины р. Статистическая сумма Z[p] для гравитационного поля при температуре T = P-1 в сферическом ящике задается континуальным интегралом по всем метрикам g на всех многообразиях М, имеющих дМ своей границей и индуцирующих на дМ метрику h.

Можно ожидать или по крайней мере надеяться, что главный вклад в континуальный интеграл будут давать метрики, достаточно близкие к основной метрике go, экстремизирующей
1. Евклидова квантовая теория гравитации 25

действие, т. е. дающей решение классических полевых уравнений с заданными граничными условиями.

Действие можно разложить в ряд Тейлора относительно основной метрики go:

fig] = ! [go] +hlgo, g] + члены более высокого порядка, (2.?) где g = Ifo + g. а член I2 квадратичен по возмущениям g. Тогда In Z = —/[ёГо] + In ^ D [g] exp (— I2) + члены более высокого

порядка. (2.4;

Первый член можно рассматривать как вклад в In Z основной метрики, а второй, «однопетлевой», член — как вклад тепловых гравитонов на фоне основной метрики. Меру D [?] для однопетлевого члена можно представить в виде

D Ш = П ndann~v‘, (2.5)

Tl '

где ц— нормировочная величина, или регуляризатор, а ап — коэффициенты в разложении возмущения g по собственным функциям эллиптического оператора второго порядка А, определяющего I2, т. е.

g == S а„Ф(2.6)

где

Лф„ = (2.7)

l2=\gAg(g0)'llcfx. (2.8)

Формально однопетлевой член L определяется следующим образом [4] :

L =------det (|г~2С)—г , (2.9)

(det (ц-2 {А + В)))'/>

где В — оператор, фиксирующий калибровку, а С — оператор духов. Число собственных значений (^?.) оператора такого типа N(X) допускает асимптотическое разложение

OO

N(X)=ZPnX2-*. (2.10)

п ** О

Коэффициент P0 пропорционален произведению 4-объема фоновой метрики и числа компонент поля, на которое действует оператор. Коэффициенты Pn при старших членах представляют собой полиномы по метрике, кривизне и ковариантным производным кривизны (эти полиномы Pn имеют степень 2п по производным метрики). Следовательно, однопетлевой член сильно
26 С. У. Хокинг

расходится. Различные схемы регуляризации по существу сводятся к делению на распределение собственных значений, порождаемое членами P0 и Pі. Однако в общем случае, за исключением плоского пространства и нескольких других специальных основных метрик, полный член P2 отличен от нуля. Это означает, что существует конечное (не обязательно целое) число дополнительных собственных значений, размерность которых не сокращается. Так как каждое дополнительное собственное значение имеет размерность (длина)-2, то его следует разделить на нормирующую величину ц2. Следовательно, однопетлевой член зависит от ц. От этой зависимости нельзя избавиться путем переопределения константы связи в исходном действии, HO так как она пропорциональна эйлеровой характеристике %, то ее можно включить в топологический членах, где k — топологическая константа связи, зависящая от масштаба. Ниже я еще вернусь к этому вопросу.

Одна из фоновых метрик, удовлетворяющая граничным условиям для канонического ансамбля, — это плоская метрика на евклидовом пространстве, профакторизованном по некоторому периоду, т. е. на многообразии M с топологией S1X R3- При подходящем выборе константы С действие для этой фоновой метрики равно нулю и поэтому не дает вклада в InZ. Однопетлевой член, соответствующий квадратичным флуктуациям относительно основной метрики плоского пространства, приводит к стандартному результату для теплового излучения с двумя состояниями спиральности
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed