Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Мне кажется, что причина неудач кроется не в самих теориях чистой гравитации или супергравитации, а в некритическом применении к ним теории возмущений. В классической общей теории относительности мы обнаружили, что теория возмущений применима лишь в ограниченных пределах. Черную дыру невозможно описать как возмущение в окрестности плоского пространства. Между тем построение цепочки диаграмм Фейнмана эквивалентно именно такому описанию. На техническом уровне первопричину неприменимости теории возмущений можно усмотреть в том, что «свободная» квадратичная часть действия в общей теории относительности в отличие от теории Янга — Миллса или квантовой электродинамики не ограничивает старшие члены, описывающие «взаимодействие». Свободное
') University of Cambridge, D.A.M.T.P., Silver Street, Cambridge, England. © Plenum Press
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983
20 С. У. Хокинг
действие налагало бы ограничения на такие члены, если бы в действие были введены дополнительные члены, квадратичные по кривизне. Ho такого рода добавки изменяют сущность теории и приводят к уравнениям четвертого порядка, тахионам и «духам», хотя, как я покажу, их можно использовать в качестве членов, задающих конформную калибровку.
Должен признаться, что у меня нет готового ответа на вопрос о причинах неприменимости разложения по теории возмущений. Однако, подобно человеку, пытающемуся найти ключ под уличным фонарем только потому, что это — единственное место, где имеется хоть какой-то шанс найти его, я полагаю, что если ответ существует, то он должен быть связан с топологической структурой гравитационного поля. Я выбираю подход, основанный на использовании континуальных интегралов, так как считаю его единственным подходом, пригодным для решения топологических вопросов. Чтобы взять континуальные интегралы для негравитационных полей в плоском пространстве-времени, обычно ось времени подвергают повороту Вика, заменяя t на —it. При этом пространство Минковского с лоренцевой метрикой (сигнатура —(Н—(-) переходит в евклидово пространство (сигнатура -f--j—|—f-). Такое преобразование принято производить, в частности, потому, что оно улучшает сходимость континуального интеграла. Например, для скалярного поля ср континуальный интеграл в пространстве Минковского имеет вид
J/)fcp]exp(//[(p]), (1.1)
где ZD [ф]—мера на пространстве всех конфигураций поля ф, а 7[ф] — действие поля ф. Для вещественных полей на вещественном пространстве Минковского этот интеграл осциллирует и не сходится. Ho если выполнить поворот Вика в евклидово пространство, то континуальный интеграл переходит в интеграл
J D [ф] ехр (— 7[ф]), (1.2)
где / [ф] = —И\ф] — «евклидово» действие поля ф, вещественное для полей ф, вещественных на евклидовом сечении комп-лексифицированного пространства-времени. Так как действие / обычно положительно определено, сходимость континуального интеграла от всех таких полей улучшится. Продолжив аналитически выражение для него, можно вернуться в пространство Минковского. Это аналитическое продолжение автоматически включает понятия положительной частоты и хронологического упорядочения. Например, пропагатор Фейнмана
(01ГФ (я) ф [y) 10) , (1.3)
обладает положительной частотой по t — х° — г/°, т. е. голоморфен в нижней полуплоскости, при Re / > 0, и отрицательной
1. Евклидова квантовая теория гравитации 21
частотой, т. е. голоморфен в верхней полуплоскости, при Re/<0. Следовательно, этот пропагатор голоморфен на евклидовом пространстве, которое получается при повороте оси времени на 90° по часовой стрелке в комплексной плоскости. Можно даже принять точку зрения, согласно которой квантовая теория (а в действительности вся физика) реально определена в евклидовой области и лишь особенности нашего восприятия приводят нас к ее интерпретации в лоренцевом режиме.
Я считаю, что аналогичный евклидов подход следует принять в квантовой теории гравитации и в супергравитации. Разумеется, недостаточно просто заменить координаты времени мнимыми величинами, так как в общей теории относительности не существует выделенной системы координат времени. Я думаю, что вместо этого континуальные интегралы следует брать по всем положительно определенным метрикам, большинство из которых не допускает сечения с вещественной и лоренцевой метрикой, а затем в случае необходимости переходить к аналитическим продолжениям получившихся континуальных интегралов. Чтобы ограничить континуальный интеграл положительно определенными метриками и исключить интегрирование по метрикам с лоренцевой или ультрагиперболической сигнатурой, по-видимому, следует интегрировать не по компонентам метрики gab, а по компонентам тетрады еат. Последнюю можно рассматривать как квадратный корень из метрики:
Sab ® cfibm' (1-4)
Пространственно-временные индексы а, Ъ, ... поднимаются и опускаются с помощью метрики gab и gab, а тетрадные индексы т, п, ... поднимаются и опускаются с помощью евклидовой метрики 8тп и бтп, поэтому группой вращений тетрад служит не обычно используемая группа Лоренца SO (1, 3), а группа SO(A) = SU(2)Х SU(2)/Z2.
