Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
4-і оо
nW = Ш S Z [flexp (PE) Ф (2.20)
— і OO
Ho если вместо Z подставить значение
exP ( їбїг) ’
обусловленное действием фоновой метрики, то интеграл не будет сходиться. Чтобы интеграл сходился, контур интегрирования по р в (2.20) необходимо повернуть от мнимой оси. Поскольку статистическая сумма Z — величина чисто мнимая, плотность состояний N(E), как и следовало ожидать, вещественна, так как микроканонический ансамбль для гравитации вполне определен: черная дыра в ящике может находиться в устойчивом равновесии с тепловым излучением, если фиксирована полная энергия в ящике, но она будет находиться в неустойчивом равновесии, если фиксирована температура ящика, потому что черные дыры обладают отрицательной теплоемкостью [7].
Можно также рассматривать ансамбли, в которых помимо температуры имеются химические потенциалы для углового момента относительно той или иной оси и электрический заряд. Статистическая сумма в таких ансамблях определяется континуальным интегралом, взятым по всем полям, принимающим одни и те же значения в точках (t, г, ft, tp) и (? + t'P, г, ft, tp + + i'Qp) на некоторой граничной поверхности в калибровке A0 = = ф, где'Q — угловая скорость, а ср — электростатический потенциал. Следуя евклидову подходу, Q и ф необходимо выбирать мнимыми, а затем продолжать аналитически статистическую сумму до вещественных значений Q и ф.
Метрика со стационарной фазой в континуальном интеграле для статистической суммы будет евклидовым пространством с точками, профакторизованными с некоторым периодом во вращающейся системе координат, либо евклидовым сечением решения Керра — Ньюмена с мнимым угловым моментом и мнимым электрическим зарядом (в евклидовом режиме мнимый электрический заряд, порождает вещественное поле Fab). Такой
30 С. У. Хокинг
же подход, как к решению Шварцшильда, показывает, что решение Керра — Ньюмена также обладает специфической квантовой гравитационной энтропией, которая равна одной четвертой площади горизонта событий.
3. Гравитационный вакуум
В теории Янга — Миллса вакуумное состояние с Fab = O на пространственно-подобной поверхности можно описывать потенциалами Aa, которые являются чистой калибровкой, т. е. имеют вид
Аа = А~1даА, (3.1)
где A — элемент калибровочной группы G. Выбрав в качестве Л единичный элемент на бесконечности или, что эквивалентно, компактифицировав пространственно-подобную поверхность — дополнив ее бесконечно удаленной точкой, чтобы превратить в
3-сферу, мы получим некоторое отображение S3 в G. В простом случае, когда калибровочная группа G есть SU(2), она топологически представляет собой 3-сферу, поэтому такие отображения можно разбить на классы гомотопической эквивалентности, каждому из которых соответствует вполне определенное целое число п — степень отображения. Таким образом, мы приходим к вырожденному семейству вакуумных состояний, описываемых целым числом п [8]. Амплитуда перехода для туннелирования из начального вакуумного состояния Fil в конечное вакуумное состояние п2 задана континуальным интегралом, взятым по всем полям Янга — Миллса на евклидовом пространстве, убывающим до нуля на большом расстоянии и имеющим число Понтрягина щ—п2. Действие таких полей ограничено снизу числом
?л2 (П1 rt2)>
в силу чего туннельный переход подавлен..
Аналогичный анализ можно провести и для гравитационного вакуума. Нулевую конфигурацию поля — плоское пространство — на пространственно-подобной поверхности можно описать различными тетрадными полями, которые можно рассматривать как отображения 3-сферы (пространственно-подобной поверхности, компактифицированной добавлением бесконечно удаленной точки) в группу вращений тетрад SO(4). Так как в эту схему желательно включить и фермионные поля, то необходимо выбирать не обычные тетрады, а спинорные реперы. Они соответствуют отображениям 3-сферы в накрывающую группы SO (4) — группу SU(2) X SU (2). Поскольку каждая группа SU (2) топологически эквивалентна 3-сфере, такие отображения подразделяются на гомотопические классы, каждый из которых
1. Евклидова квантовая теория гравитации 31
однозначно определяется двумя целыми числами (п, т) — степенями отображения 3-сферы на два прямых сомножителя. Таким образом, мы имеем двукратно бесконечный набор вырожденных гравитационных вакуумов. Амплитуда туннельного перехода из начального вакуума (пь mi) в конечный вакуум (п2, m2) определяется континуальным интегралом, взятым по всем асимптотически евклидовым метрикам на параллелизуе-мых многообразиях с эйлеровой характеристикой
% = (п2 — Пі) + (щ — піі)+ I и сигнатурой Хирцебруха
т = f [(«2 — «О —(щ — щ)\-
Асимптотическая евклйдовость означает, что метрика стремится к стандартной евклидовой метрике на R4 вне какой-то компактной области, внутри которой топология отличается от заданной на Ri. Параллелизуемость означает, что на многообразии можно задать непрерывные тетрадные поля и непрерывные спинорные реперы, а условия на % и т позволяют интерполировать эти поля между полями на начальной и конечной поверхностях. Можно доказать, что если многообразие допускает спиновую структуру, т. е. на нем можно непротиворечивым образом задать спиноры, то оно параллелизуемо [9, 10]. В асимптотически евклидовом случае отсюда следует' также, что сигнатура Хирцебруха кратна 16. Таким образом, гравитационные вакуумы подразделяются на классы, каждый из которых не может туннелировать в любой другой класс и живет в своей полностью изолированной вселенной.
