Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
теоремы об острие клина
?•ч
(теорема 2.6 в гл. 2, § 4) существует число р(р)>0, такое, что
{k = p + iq\\\p - р\\< р(р); || <71| < р(р);
^ег^+г31}с^(А),
{k = р + iq: || р - р || < р (р); || q || < р(р);
Легко проверить, что
+ *^Ъ2 = [q'-pi + ?г? ^+j = - C^°oi + ^зг)
(Замечание: характерной особенностью различных конусов, возникающих в
нашей задаче, является то, что для любых двух из этих конусов,
например*]^' и СУ>", существует число а>0, такое, что
convu^iuiK^mr'^n
содержит
{q--m<*b}(MV' + V"}.)
С другой стороны, из результатов § 3, гл. 3, следует,
>*ч
что существует число а>0 (зависящее от р), такое, что
[k = p + iq : ||р - р|| < о; ||?||< a; q^Tt\+ Т32;
Im (fej + k2f =?0}С1Ж (Д);
{k - р -f iq : || р - р || < о; || q || < о; q 'Vm + У*32', Im^j -f k2f
0} Cl Ж (А).
Каждое из этих двух множеств является объединением двух непересекающихся
областей, отделяющихся разрезом Г12 (который задается локально уравнением
192
Im(fe1 + fe2)2 = 0). Точки k первого множества, для которого ш
(соответственно q^V*32), будут такими, что <7i + q^^Vtx (соответственно
qi + q2^V~), а так как рх-f + P2SV+ (для достаточно малого а), то они
удовлетворяют условию
Im (&i + к2)2 = 2 (Pi + Pz) (qi + ^2) !> 0
(соответственно Im(&i + &2)2<0). Аналогичные результаты справедливы для
второго множества. Ситуация изображена символически на рис. 6.
Произведем замену переменных, чтобы "выпрямить" разрез Г12. Для этой цели
выбираем новые координаты zu..., 2 12 так, чтобы:
1) отображение т из комплексного импульсного пространства в пространство
переменных z\2 преобразовало биголоморфно множество {k:\\p - р||<а,
||<7||<;а} на открытую окрестность начала координат
Zi = (^1 + kzf;
2) отображение т было вещественным, т. е. преобразовало две комплексно
сопряженные точки в комплексно сопряженные точки.
7 Зак. 954
193
Такое отображение существует, если а достаточно мало. Например, мы можем
оставить все компоненты *i, k2, k3, за исключением ?1, как z2,..., Z\2, и
заменить
ki на (^1 + ^2)^
Мы можем написать
3 3
т {k) = A {k - р) + 2 2) (*/ - Р/) % (*)>
V-0 /-0 '
где О]-, (k) - голоморфные функции, равные нулю при
/ч
k = p, а Л - вещественная несингулярная матрица 12X12. Пусть С - открытый
выпуклый конус в вещественном импульсном пространстве н Со- другой
открытый выпуклый конус, такой, что СоПС{0}с:С. Мы можем найти достаточно
малое Ь>0, такое, что образ множества
{k=p+iq, \\р-р\\<а, 1М1<а, ?еС} содержит {г:
: ||Rez||<;6, ||1гп2||<й, 1ш2еЛС0. Применяя это к конусам dz -°V3 ъъ)
и + CVoi-\~еИ^з2) t мы можем найти
Ь>0, такое, что образ множества
Ж(А)С\{/1 = p + iq:\\p-'p\\<a, |Ы| < а)
содержит множества следующего вида:
1) {г: || Re г |j < b, ||Imz||<&, ImzG±Clt Iraz^O);
2) [z : ||Rez|| < b, ||Imz||<c, ImzG±C,],
где Ci - открытый выпуклый конус (произвольно), близкий к {АТш+Тзг), а С2
-открытый выпуклый конус (произвольно), близкий к АУ'тЧ-^зг. такие, что
\z : Im Zj > 0, Im z e Cx} f| {2 : Im z e C2} =f= Ф
и
[z : Im ^ < 0, Imze - Ct} f| [z : Im г G C2) =f= Ф.
Пользуясь геометрической формулой теоремы об острие клина (гл. 2, § 4,
лемма 2.4*), мы находим, что оболочка
* В действительности нам нужно некоторое обобщение леммы 2.4 в гл. 2, §
4, в котором вместо требования, чтобы С содержал Ci и Сг, мы только
требуем того, чтобы С П Ci и СП С2 были непустыми. Мы предлагаем читателю
доказать это обобщение.
194
голоморфности объединения двух последних множеств содержит
{г : Im zx > 0, || Re z || < d, Ц Im z || < d}
и
{xilmzjCO, ||Rez|| < d, ||Imz|| < "/},
где 0<id<ib. Поскольку отображение х (локально) бн-голоморфно, то мы
можем вернуться к исходным пере-
"<¦¦4
менным и заключить, что существует число г(р)>О, такое, что Ш(А) содержит
\k:\\p - р\\<г(р)\ || <71| < г(р)\ Im(^j + &2)2 Ф 0).
Лемма 3.3. Для каждой вещественной точки р, такой, что
7i < К (Р1 + р2)2 < м?з, (Рг + Ро? < м\о,
существует число г(р)~>0, такое, что Д) содержит открытое множество
[k:\\p-p\\<r(p), \\q\\<r(p), 6^Г12).
Существование числа г(р) со свойствами, указанными в лемме, фактически
было доказано только для такой
точки р, что {р\ + Р2)2фМ\2. Чтобы завершить доказательство леммы, мы
обращаемся к следующей теореме. Теорема 3.1 (теорема о сильной
непрерывности Бре-мермана). Пусть t-^w(t)-непрерывная комплексная функция
для 0^^1; пусть а и b принадлежат Сп-1. Обозначим z(t) =a. + w(t)b. Пусть
D(^) (O^^l) обозначает область в С1, зависящую непрерывно от i вблизи
точки t-0 в следующем смысле: для каждого компакта KczD(0) существует
т)>0> такое, что KczD(t) для всех t в интервале 0=S^=SCr). Пусть Д(^)
обозначает "диск" в С", определяемый условием
Д(^) = [z = (Zj, • . ., 2n_j, zn) - (z, zn). z = z(0, z"eD(0).
7* 195
Если область голоморфности Q содержит A(t) для всех t, таких, что
0<4=Sjl, и если Q содержит одну точку области Д (0), то Q содержит Д (0).
Доказательство (нетривиальное) этой теоремы можно найти в работах [23,
29, 39]. В случаях, которые мы будем рассматривать, можно пользоваться
