Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующее дереву в 3 1 2
Kt=[l:x3-x^+ соответствующее дереву Хз- 1 •- - Х1&+, 3 0 2 -X-•-к
х2 - •Хо?Р+),
Пересечением любых двух различных Kj Является Hoi - |^:х2 - Хз-
Ло€Е1/Г+> х2-x1??VJr, х3 x1^V+\.
Таким образом,
?v ?v ~ ?v ?v
supp Oox c Kx (J Ki, suppal0 С Кг U Яз supp газ С Кг (J К2, supp г32 С.
Ка U
180
(3.1)
Внутренностями дуальными к элементам носителям являются
К\° = {q--qi<=V~, qx -f q2<=V+, qS€=V+},
K2 - {q~-qo&^~, qi -f- q%^V~~, ^3eJ/+},
Кз° = {q:q0<=V~, q1 + q^V~, (?2е= 1/+),
K4 = {q'-qi^V , qi-{-q3^V+, q2eVJrj.
Ситуация представлена символически на рис. 5. Конусы
^ *Q
Kl 0^/^4) содержатся в B={q:qt^V~, q2^V+,
q3(-V+)}. Поэтому Kj содержит В* (/=1, 2, 3, 4):
В* - {|:х0-хг(=У+, х2 - х0е?+ х3 - x,eF+).
Пусть u-*~GT(u)-функция вещественного четырехмерного вектора вида
G (и) =--------5-------0 (и0) 0 ((и, и)) (и, и)г,
гУ ' 8я (4r) ri (г + 1)1 v ' u ' ,п ' ' '
где [(н, и) -лоренцев квадрат от и)]; г>0 - целое число. Легко проверить,
что соотношения
\JaGr (и) = G,_1 (и) для г > 1,
? "Go (") = ?>*(").
?" G0 (и) = б (и)
справедливы в смысле соотношений обобщенных функций. Положим теперь
FT (I) = Gr (х0 - Gr (Х2 - х0) Gr (х3 - х0).
При помощи рассуждений, по существу тождественных с рассуждениями в гл.
2, § 4, легко показать, что существует целое число 0, такое, что для
каждой обобщенной функции га из указанного квартета Р8 >(< Fn{1) является
непрерывной функцией полиномиального роста с носителем в supp га-\-В*.
Поскольку каждое К3(1^/^4)-замкнутый выпуклый конус, содержащий В*, то
Kj+B* = Kj, так что уравнения (3.1) остаются в силе, если мы заменим supp
га на supp г8 >(< Fn для каждой из четырех о. з. ф.
181
Более того, rs^FN имеет такие же свойства ковариантности относительно
однородной группы Лоренца, что и rs, и
rs (g) = (Di (6)
*32
Рис. 5. Символическое представление ячеек в импульсном пространстве.
в смысле уравнения обобщенных функций. Наконец, четыре свертки,
получаемые из данного квартета о. з. ф., удовлетворяют штейнмановскому
тождеству
"01 *'Fn (I) + %о * Fn<g) = г2з >(< Fn (g) + r32 >k Fn (g).
182
Уравнения (3.1) или рис. 5 подсказывают, что штейнмановские тождества
могут быть "решены", если написать
#м * Fn = ф! + ф4; а10 * Fn = Ф2 + фз! 1 ^
r^^Fs =ф! + фг; = фз + ф4, J
где ф/ - кусочнонепрерывная функция полиномиального роста с носителем в
Kj для каждого /=1, 2, 3, 4. Это действительно можно сделать несколькими
способами. Мы будем исходить из того, что доопределим ф'у равной
А
нулю вне Kj. Тогда тривиально проверить уравнения
(3.2) вне Ki\JK,\JK,\JK*. Если мы рассмотрим теперь
KiflC (KiiJKslJKi), то из уравнений (3.2) следует, что на этом множестве
ф! (?) = а0j >k Fn (|) = r23 >k Fn (|) в силу штейнмановского тождества.
Наконец, в области
/Ч /S /\
мы можем выбрать фМЕ) произвольно. Если в этой области для определенности
положить фМ!) =a0i>№v(i), то получим
ф4= aoi^Ew -ф1, ф2 = Г23>К^ЛГ- ф1,
Фз - #10 ^ Fn - rw >К Fn -j- ф1,
фз = r32 >К Fn - a01 >К Fn + ф[.
Вследствие штейнмановского тождества эти уравнения самосогласованы. Более
того, мы можем выбрать функции ф'у так, чтобы они обладали такими же
свойствами ковариантности, что и функции rs>l< Fn, т. е. такими же
свойствами ковариантности, что и rs (мы можем, например, определить
ф1 = 9 (*2 - *?)0 ((*2 - -*т)2) а01 >k Fn
и пользоваться предыдущими уравнениями для того, чтобы вычислить другие
ф/). Обозначая
(OlD2D3)N+4 = фу
183
(в смысле обобщенных функций),
"ох = Ф1 + ф4> "м = Фг + фз. 1 ^2
Г23 = Ф1 + фг, *за = фз + Ф4- I
Функцци ф3 представляют собой обобщенные функции
с носителями в соответствующих множествах Kj и с такими же свойствами
ковариантности, что и функции rs. Пользуясь тем, что они являются
производными от кусочнонепрерывных функций с теми же носителями, легко
увидеть, как в гл. 2, § 4, что для каждого /(1^/^4) преобразование
Лапласа Ф'3 от ф3 голоморфно в трубе /?12+i/Cj*°. Обозначим ф3
преобразование Фурье от ф3 (граничное значение Ф/) и
ф,(*)= Гп(#-я?)ф;(*)
|_г=0
Ф> (Р) = Г П (p2r - tnfj фj (р)
О
Hfcw = Гп (
\_г=й
(см. гл. 1, § 1). Имеем
н'о\=ф;+ф; я^=ф;+Фз,
//гз = Ф1 ~Ь Ф2, Дзг == Фз + Ф4
и аналогичные уравнения для функций Hju через Ф1. Соотношения совпадения
aoiip) = гп(р) для (Pi -f Р2)2 < Mi2,
"ох (p) = r23(p) для (pi-f рз)2<М*3 и уравнения (3.3) означают
ф! (р) = фз(р) Для (pi + р2? < М?2, (3.4)
ф4(р) = фг(р) Для (рх + Рз)2 < Mis- (3.5)
Аналогичные соотношения справедливы для ф3.
Применение теоремы об острие клина
В настоящем разделе мы покажем, что все функции Н являются ветвями одной
и той же аналитической функции H(k). Доказательство будет дано для
184
(я+1)-точечной функции (обозначения были введены в § 1, гл. 1).
Пусть S' и S" - две соседние ячейки в En+i с общей поверхностью на
гиперплоскости {s:s*=0}. Обозначим Жх вещественное открытое множество,
определяемое в импульсном пространстве следующим образом:
Жх = {p:pl<M2x} .
Применяя теорему об острие клииа (см. лемму 2.3 и теорему 2.6) к функциям
