Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
множества
Х:1(:±-А, 0<п*,
П-\
1 -
?+f2*<
Г-2
168
по переменным z. Этот образ содержит точку x + iy, поскольку
1 - ь
J-г (Т)1 + Г)") < (1 --8)-^-,
л-1
П ^ п% { 6 V Ь ь
ZiT'{<~(-) т=ет
г-2
Легко проверить, что различные продолжения функций /i и fi, полученные
таким образом, согласуются везде, где они определены одновременно.
Лемма 2.3. Пусть С - открытый непустой конус в Rn; f(z)-функция,
голоморфная в {z: ||х||<(я + 2)а, уеС, ||у||<6} (0<Ь<а), стремящаяся к
функции класса С°° в действительном открытом множестве А = = {х: ||х||<
(п + 2)а) в смысле в (А). Тогда f(z) имеет аналитическое продолжение в
|z: [| х || < а, у? conv Jу' : || yr || < -J-j fjCj .
Доказательство аналогично доказательству леммы 2.2. Отметим, что если С
несвязно, то гипотеза теоремы означает, что f(x+iy) стремится к одной и
той же функции f(x) класса С°° при у->- 0 в любой связной компоненте
конуса С.
Случай с граничными значениями, представляющими собой обобщенные функции
В предыдущих леммах и в теореме Малгранжа - Цернера можно ослабить
условие относительно граничных значений рассматриваемых функций (т. е.
что они принадлежат классу С°°) и заменить его следующим условием:
граничные значения этих функций представляют собой обобщенные функции. Мы
не будем доказывать это подробно, а дадим только набросок метода
доказательства. За полной информацией мы отсылаем читателя к литературе,
в частности к книге Стритера и Вайтмана [5], где даны другие ссылки.
Отметим, что в случае функций с граничными значениями из класса С°°
полученное в предыдущих леммах и теореме аналитическое продолжение F(z)
удовлетворяет принципу максимума относительно первоначаль-
169
ных функций: для каждого компактного множества К
конечной области существует компакт К первоначального множества, где
первоначальные функции заданы так, что ||Л1к<11Л1*. Если мы регуляризуем
первоначальные функции и обобщенные функции через функции qp^SHR") с
достаточно малым носителем, то мы можем применить предыдущие теоремы и
получить аналитическое продолжение Ff первоначальных функций в область
произвольно близкую к конечной области. Это продолжение тоже
удовлетворяет ЦК? !!к^||Еф!|^. Поэтому Ff непрерывно (и линейно) зависит
от ф, и легко проверить, что
Еф(х + п/) = (7у*Ф)(х),
где Tv - обобщенная функция от х, непрерывно зависящая от параметра у. В
силу теоремы о ядре она представляет собой обобщенную функцию от х и у.
По этим переменным она удовлетворяет уравнениям Коши -Ри-мана.
Следовательно, она является аналитической функцией в силу одной из
простейших форм теоремы о регулярности ([6, т. 2, стр. 72]).
Мы сформулируем "вариант с обобщенными функциями" теоремы об острие клина
и оставим читателям задачу: сформулировать "вариант с обобщенными
функциями" теоремы Малгранжа - Цернера.
Теорема 2.6. Пусть С\ и С2 - два открытых выпуклых непустых конуса в R";
f\ и /г -две функции со следующими свойствами:
1) для а=1,2 fa голоморфна в области
{г: || х || < За, у?Са, || у || < Ь],
где 0<Ъ<а.
2) lim f fa(x + 'y)4>(x)dx = Т (ф) а = 1,2
у-о J уеса
для любой функции ф^5) ч носителем в (х: ||х||<3а}; Т представляет собой
обобщенную функцию, определяемую в том же шаре.
Тогда существует функция F, голоморфная в
{г: || х Ц < а, у? conv [{/ : || у' || < Aj f| (С, (J С,)]},
170
которая совпадает с fa в пересечении этой области с eTa=/?" + iCa (а=
1,2). Более того, F(z) имеет Т своим граничным значением в смысле
сходимости последовательностей обобщенных функций.
Имеет место аналогичный "вариант с обобщенными функциями" леммы 2.3.
Теорема о двойном конусе. Обобщение замечания, сделанного в § 4, приводит
к следующему дополнению к теореме 2.4.
Теорема 2.7. Пусть Сi и С2- два открытых выпуклых непустых конуса в
еГi=^n + iCi, еГ2 = ./?" + iC2; С+= - С 1-С2=-С_; а и 6 -две точки в Rn,
такие, что b-аеС+; и V - вещественная открытая окрестность сегмента (a,
b), a W - комплексная открытая окрестность "двойного конуса":
D-\x(^Rn: х - а?С+, b - х?С+).
Пусть fi и /2 - две функции, голоморфные в iC\W и ST2f]W соответственно и
имеющие граничными значениями Тг и Т2 (соответственно) в V. Если Тх и Гг
совпадают друг с другом в V, то они совпадают друг с другом в D.
Для большей информации о теореме об острие клина см., например, [23].
Теорема 2.7 обобщает теорему Владимирова и Борхерса [34]. Описанный выше
метод был взят из работы Броса, Эпштейна и Глазера, которая готовится к
печати.
Наконец отметим, что при помощи теоремы о локальной трубе вместо теоремы
Малгранжа - Цернера мы можем получить "геометрические варианты" лемм 2.2
и 2.3. В качестве примера приведем только следующую лемму.
Лемма 2.4. Пусть С - открытый связный конус в Rn, содержащий два непустых
выпуклых конуса Сг и С2. Обозначим ?2 область
?2= {z: II х || < За, || у || < b, ^G^UQU. fz: || х || < За, || # || < р,
у&С,
где 0<Ь<а, 0<р. Оболочка голоморфности области содержит открытое
множество
(z: |U II <а, у<= сот [ {*/': II у' II < -f} П (Q U Q]) •
