Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
171
Преобразование Лапласа обобщенных функций умеренного роста с носителем в
конусе
Напомним, что конусом С в Rn является такое множество, что для любого
действительного р>0, рCczC (т. е. в нашем определении конус всегда имеет
вершину в 0).
Если С - конус в R", то дуальным ему является конус С*, определяемый в
пространстве, дуальном к R" (которое изоморфно Rn.), следующим образом:
С* = {р:(р, х)> 0 для всех х??С\.
Нетрудно проверить, что С* замкнут и выпуклый. С** определяется в том же
пространстве, что и С, и, очевидно, содержит С. Можно проверить (см.,
например, [35]), что С** является замкнутой выпуклой оболочкой конуса С.
Легко проверить следующие свойства:
1) ^(ZC^CldCl
2)с=с1ис,и • • .с,=*с* = с;пс;п • • -пс
с=сг + с2+ . . . + с,=*с* = с;пс;п . . .ПСА
3) с = CiHCa . . . Г)Сг И Cj = С" (1 < / < г)=>
=>с* = с;+. . .+с;
и т. д. Внутренность С*0 конуса С* задается как
С*0 - (р: (р, х) > 0 для всех х?^С, х =? 0}.
Она может быть, конечно, пустой: например, если С обладает свойством C +
RaaC, то С* содержится в {р:(р, а) = 0}.
Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 2.8 [36]. Пусть Т - обобщенная функция умеренного роста, с
носителем в конусе Cc:Rn, таком, что С*°фФ. Тогда преобразование Фурье
обобщенной функции Т представляет собой граничное значение в смысле
функции Т, голоморфной в трубе Rn + iC*°.
Доказательство. Допустим, что С имеет внутренние точки.
1. Покажем сначала, что Т может быть написана в виде T*=P(D)G, где Р -
полином с постоянными коэффициентами, P(D)-дифференциальный оператор с
по-
172
стоянными коэффициентами, полученный заменой переменных в Р на д/дх, G -
непрерывная функция с носителем в С**, растущая полиномиально на
бесконечности.
Поскольку С*°ФФ, то существует р, такой, что
/ч
(р, х)>0 для всех хеС**, хФО. Так как С имеет внутренние точки, то мы
можем выбрать я линейно независимых векторов еи ..., еп, содержащихся в
С. Они удовлетворяют (р, е,)>0 (/=1, ..., я), и мы можем выбрать
их длины так, чтобы выполнялось (р, ej) = 1 (/=1, ..., я). С тех пор мы
выбираем эти векторы в качестве системы отсчета, т. е. мы выбираем
координаты так, чтобы = = (0, ..., 1, ..., 0). Тогда для х= (хи ..., хп)
мы имеем
(р, х) = 2 Xj.
/=1
Так как Т является обобщенной функцией умеренного роста, то она
удовлетворяет для любой (pe#'(Rn):
| <7\ <р> | <C||<p|U"
|| ф ||р, " = sup (1 + I! х ||у" | D\(x) | , xeRi | a \<q
и ее можно расширять до непрерывного линейного функционала на банаховом
пространстве, полученном дополнением & по норме II ||р, q. Это
пространство состоит из всех функций ф с непрерывными производными
первого порядка, для которых ||ф||р>(/ конечны. Положим для г^зО
Fr ^ = ^ Х" 9 ^ 9 ' 0
Имеем
---------- - Fr (х) = Fr_x (х) для г > 1 ,
дхи . . . , дхп
-------^__Р0(Х) = б(х).
дхи . . . , дхп
Для г^2 Fr имеет непрерывные производные до
(г-1)-го порядка. Fq+l(x-х), рассматриваемая как функция от х, зависящая
от параметра х, не имеет конечного значения || ||pq. Однако носители Т и
Fq+\(х-х)
173
имеют компактное пересечение. Действительно, это пересечение содержится в
СП(*- К)с|*:0 <2 */> Xj<Xj (1</<п)|. Последнее множество само содержится
в {х: 0^
?Ч /Ч,
^Xj-
k
Чтобы определить T'^Fq+i(x) (которая задается эвристически интегралом
}T(x)Fq+i(x-x)dx), достаточно применить Т к Fq+l(x-x)%-(x), где %*(х) для
каж-
/ч
дого фиксированного х является С°°-функцией х, такой, что Fq+i(x-х)%*(х)
имеет компактный носитель и сов-
падает
<7+1
{х-х) на окрестности (supp Т) П
П (supp Fq+l(x-x)). Мы выбираем
<z{'2i(Xj - xJ)\ для 1,
\/=I 1 7 = 1
а
" ~ \ 2 (*/- Xj)
7=1
2j Xj
7 = 1
/
П
ДЛЯ 2 Xj > 1, 7=1
где t-+a(t)-вещественная С°°-функция одной переменной, такая, что O^a^l,
a(?) = l для ^2, a(0=0 для t^s3.
(х) зависит непрерывно от л:, и для каждого мультииндекса р существует
константа Мр , не зависящая от х,
/ч
такая, что | Df х. * (а:) | <М? . Произведение Fq+i (х-х) X X ](; (ж)
(рассматриваемое как функция от х, зависящая от параметра х) является
элементом банахова пространства, соответствующего норме || ||Pi9, и
зависит непрерывно от х. Пользуясь правилом Лейбница, легко увидеть, что
|| Fq+l {х -x)tz(x)\\Piq<B{\ + fx ||)ГН"+ n*.
174
Следонательно, T^F(x) является непрерывной функцией х, удовлетворяющей
! T*F"+1(X) I <М(1 + II* [|)р+("+1)'г .
Ее носитель содержится в; С + KczC** + KczC**. Кроме того,
ага(<Н-2)
"Г... .."Г
T^Fg+i является искомой функцией G. (Это доказательство принадлежит
Глазеру.)
2. Для k = p + iq преобразование Лапласа T(k) задается эвристически
формулой
Т (к) = J ёМ)х Р (D) G (х) dx, точный смысл которой раскрывается в
формуле:
T(k) = Р(-ik)\&~qx eipxG(x)dx.
Интеграл сходится абсолютно и равномерно (по к), когда q меняется на
любом компакте, содержащемся
в С*0, и f(k) голоморфна в Rn + iC*°. Для каждого
фиксированного q^C*°, T(p + iq), рассматриваемая как обобщенная функция
умеренного роста р (зависящая от параметра q), является преобразованием
