Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хепп К. -> "Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля" -> 46

Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.

Хепп К., Энштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля — М.: Атомиздат , 1971. — 241 c.
Скачать (прямая ссылка): analitsvoystvaamplitud1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 66 >> Следующая

достаточно, чтобы существовали число 0<г/1^1, константа Л1>0 и целые
числа 0, д^О, такие, что
1 f(x+iy) I < у~р М(1 + | х |)?
при всех х и у, удовлетворяющих 0<у<У\.
В качестве примера докажем только теорему 2.4. Для математиков теоремы
2.3 и 2.4 и многие другие теоремы такого рода хорошо известны, но
опубликованных работ по этому предмету довольно мало (см., например,
работы [4, 30, 31]).
156
I. Необходимость условия. По определению мы говорим, что f стремится к
Г в смысле^', если существует уо, 0<у<\, такое, что для 0<у<Уо обобщенная
функция fy, определяемая формулой
+ 00
<fy, Ф> = j f(x+\y)(p(x)dx,
-оо
принадлежит 3" и стремится к Т при г/-"-0. Полагая fo = Т, мы имеем
непрерывное отображение y^fv компактна [0, г/о] в^'.Его образ компактен
и, следовательно, ограничен, так это существует полунорма || ||р в $
относительно которой все функционалы fv {О^у^уо) равномерно непрерывны.
Это означает, что существуют константа Л>0 и целое число р^О, такие, что
для-каждой фи каждого у (О^г/^ро):
- дт
I <fy, Ф> I < Л sup (1 + X2)2 - - ф(х)
X ОХ
О КтКр
Поэтому обобщенные функции fy расширяются до равностепенно непрерывного
подмножества пространства, дуального к банаховому пространству,
определяемому нормой ||||р: их можно применить к функциям ф, убывающим на
бесконечности, как |х|-р, вместе с р первыми производными. В частности,
положим
у (х'') = (*' + У + О"' (*' + W -2)-1
для Z = X + \у, О < у' < у0, 0 < у < Уо, у' ф у.
Мы имеем для 0<у'<у<у0:
(Эту формулу Коши легко доказать следующим образом: 1) регуляризовать все
fy посредством функции ф^5)(т. е. взять свертку fy с ф); 2) написать
формулу Коши вдоль прямоугольника; 3) преобразовать постепенно
прямоугольник в бесконечную полосу; 4) устремить ф к б-функции.)
С другой стороны, г/'-уфг, / представляет собой непрерывное отображение,
множества {у''-у'Фу} в банахово пространство с нормой ||||р. Поэтому при
г/'-vО (и фиксированном у>0) фг, у> остается в компактном
157
множестве (соответствующем, йапрймер, 0 ^у'^.у/2) и, следовательно,
<fy\ Фг, у,>-+ </о, Фг, о > при у' -> 0.
Наконец,
/(Z) = ~*Ы)Р *<Ль ф*- °> _ <^*' ф*- *°>] (0<г/<г/о). Пользуясь
неравенством
|/(z)| <Л | г-f i |* {|| <p2J|p + ||Фг>0||р],
легко проверить, что существует константа М>0, такая, что
| f (z) | <М (1 + | х | У1 \y~p -j- (у0 - у)~р] при 0<у<уо-
2. Достаточность условия. Допустим, что для всех у, удовлетворяющих
0<у^у0, мы имеем
\f(x + iy)\< MSL+yw .
Рассмотрим
г
Fm (2) = J f(2') dz' (m > 0),
lyt>
где z=x+iy, 0<y^yo, причем интеграл берется вдоль (компактного) контура,
содержащегося во множестве {z'^x'+iy', 0<у'<1}.
Как известно,
^(н/о) = 0; ± Fn(z) = Fm^ (z); -^ = /.
аг dz
так что Fm является первообразной (m+l)-ro порядка функции f. Мы имеем
? (x-\-iy - х'- if/I?)
Fm (х + it/) - j ~ --ml - f(*' + 4/o)dx' +
o
+ im+1 J - Г f(*+ WW.
Уо
158
Поэтому (для простоты допустим, что х>0)
X
I Fm{x + it/) I < f-y | X - + i*/o \m~^~ (1 + xydx' +
-J ml ti
Уо
+ М(1+^Г-(У-~У)-.^.
J ml y'P у
Положим
Уо
Ж:
ml y'P
у
Это-модуль первообразной (т+ 1)-го порядка от у~Р\ первообразная равна
нулю вместе с (т-1) ее первыми производными в точке г/о- Имеем
Уо
?.<"> =
У
Уо
У Уо
Ф* (у) = J Ч>т-1 (у') dtf {т > 1).
у
Допустим, что р> 1. Тогда
- 17=ir[l^r -^}<¦
- - -
• • - ''-¦<"><
% (") < № -!/ - У IS- < 2jr".
У
Отсюда следует, что ^р(*-Иг/) мажорируется выражением вида
i/yx+u/K/Cxa + MP'
159
для 0<у^у0. Поэтому Fp+\(z) непрерывна в замкнутой полосе {х+п/:
О^г/^г/о}, в которой она удовлетворяет
|/%+1(х + й/)</((1+ \х\Г+е+'
для некоторого положительного К¦ Она имеет, в частности, непрерывное
граничное значение на вещественной оси, обозначаемое Fp+i(x), к которому
она стремится в смысле сходимости последовательности непрерывных функций
полиномиального роста, а следовательно в смысле сходимости
последовательности обобщенных функций умеренного роста. Дифференцируя
(р+2) раз, мы получим следующий результат: f(x+iy) стре-
мится к
dP+-2 / ч
dxP+а Р+х^
в смысле sp' при у-*-0. Интересно отметить, что мы получаем верхнюю грань
(р + 2) для локального порядка обобщенной функции, к которой стремится /.
Аналогичные теоремы имеют место для п переменных. Доказательства
аналогичны. Мы отсылаем читателей к работе [30], в которой сформулированы
и доказаны эти теоремы.
Теорема Мапгранжа - Цернера
Эта теорема, была доказана в 1961 г. Б. Малгран-жем (неопубликовано) и
затем Цернером [32] при помощи другого метода. Изложенное здесь третье
доказательство принадлежит Бросу, Глазеру и Эпштейну.
Теорема 2.5 (Малгранж, Цернер)
Пусть /,(21, Х2, • • ., х"), f2(Xl, Z2, Х3,..., Хп),..., fn(xi,..., xn-
,zn)-функции действительных переменных со следующими свойствами:
1) !ъ.(х\,..., 2ft,..., хп) является С°°-функцией
Хи..., хп, yk при уh, лежащих в интервале 0^r/ft^l, и является
голоморфной функцией Zk-Xh+xyu для 0<yh<l (1
160
2) для любого действительного x=(xi,..хп),
• • • > Хп) = • • • = fk(Xll • • • > xk> ¦ • • " хп) ~
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed