Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
голоморфная в области Н_ (по переменным ?3-) и принадлежащая классу С°° в
Я, которая имеет граничными значениями <pi и <р2- Возвращаясь к
первоначальным переменным zj, мы находим, что для каждого т>0 существует
функция F(zu z2), голоморфная в области Нг:
Нх = [2:2! ? D(t, О^), г2 ? D(x, 02ccx),
0<9i; 0 < 02, 01 + 02 ~ 1}
и принадлежащая С°° на границе области Ят, которая
имеет граничные значения fi и /2- Функции Fz при различных т должны
согласоваться везде, где они одновременно определены. Поэтому существует
функция F{Z\, Z2) с граничными значениями fi и /2, голоморфная в пределе
областей Ях при т->оо: этим пределом является область Н.
Замечание. Доказательство для п переменных разделяется на два шага.
Переход от случая ограниченных функций к общему случаю тождествен
переходу, указанному выше для случая двух переменных. Доказательство для
ограниченных функций прежде
л
всего сводится (делением на П (Z/ + I)) к случаю функций f/,
/=1
обращающихся в нуль на бесконечности. Остальная часть доказательства
(аналогичная доказательству для случая двух переменных) основывается на
следующей формуле для Fг
F(Zl Zn) = (2л i)"-i =
п /*(0Х" • • • > 0ft-1>2 Z/+0ft! 0ft+b • • • > 0я)В ( 2 1 ' • • • '
г___________________________________fci________________________________V/
=1 I_
-2J
П(0,-2Г)
k-1 r + k
которая обобщает формулу (2.1), использованную для случая двух
переменных.
Применение сформулироввнной теоремы.
Теорема о "локальной трубе"
я
Пусть Е - множество Е= (J Eh:
ft=i
?ft=KC":i/;. = 0 для }фк, 0<г/*<1}.
165
Положим
Я = \z - х + uj : 0 < у}\ 0 < 2 У] < ^ •
Пусть N- открытая связная окрестность множества Е. Если F - голоморфная в
Nf)H функция, то существует функция F', голоморфная в Н, которая
совпадает с F в N'f]H, где Я'- открытая окрестность множества Е,
содержащаяся в N.
Эта теорема доказывается посредством вписания в Nf]H множеств, к которым
можно применить теорему 2.3 после замены переменных, аналогичной замене,
использованной во втором шаге доказательства теоремы 2.3.
Лемма 2.1. Пусть ...,хп),-.., fk{x\,...,
zh,..., хп),..., fn (хь ..., zn) - функции хь . .., хи,уь . . уп, (Zj =
Xj + iyt) со следующими свойствами.
1. Для каждого kfl^Zk^n) функция Д(хь .. ., Xh-u Zh, Xh+u • • •. хп)
принадлежит классу С°° в множестве Ixrl^a. у) = 0 для ]ФК 0^yh^.b\ 0<Ь<а\
функция fh голоморфна по zk в множестве: |х,.|^а, у3 = 0 при j=?k,
0<yh<b.
2. f i (Xj,.... x") = ... = fo(xlt..., xn) = ... =
= • • • , *n) ПРИ I Хг 1 <"•
Тогда существует функция F(z), голоморфная в области
и принадлежащая классу С°° в замыкании этой области, которая имеет своими
граничными значениями
Доказательство. Функция F фактически голоморфна в более широкой области.
Мы можем вписать в каждый прямоугольник
Теорема об "острие клина" для функции класса С°°
/fn-
{zk: | xk | <a, 0<yk<b\
166
область D(a, а), где
tg-f-- -(<1).
2 а
Пользуясь конформным отображением, преобразующим D(a, а) в полосу,
применяя теорему 2.3, а затем возвращаясь к первоначальным переменным, мы
находим, что существует функция F(z) с граничными значениями fu fn,
голоморфная в
z:zk ? D(a, 0йос), 0 < 0*; 2 0* < 1
k=i
Простыми вычислениями можно проверить, что эта область всегда содержит
область, определенную в лемме.
Лемма 2.2. Пусть С\ и С2- два открытых непустых выпуклых конуса в Rn;
t^'1 = Rn + iCi; еГ2=R"-l-iC2 и функция h (соответственно /2) голоморфна
в
&'1 П {z : 1! х (! <3 а, \\ у |! <&)
(соответственно еГ2 П I2 : IUII<3 а, ll"/ll<ft}), где О<Ь<а. Допустим,
что fi и /г стремится к одной и той же функции класса С°° в {xeRn : ||х||
<3а}, как <? ({х: ||лг|1 <3 а}). Тогда f( и f2 имеет общее аналитическое'
продолжение в
{г = х + \у: Ц х || <а\ у? conv |//': Ц у' [I < --,
у' 6CiUca}}.
Это аналитическое продолжение принадлежит классу С°° в вещественных
точках, таких, что Цх||<а. Здесь conv означает "выпуклую оболочку", и еще
напомним, что
iu|l2 = 2*/- II z|ll=IM|4- Ы12 = 2 I zj|2.
/= 1
Доказательство. Пусть x + iу - точка указанной области. Тогда мы можем
найти линейно независимые векторы в\,..., en^Rn с длиной I и число е>0,
такие, что
у = 2 ^ 0 < ч* (/г = 1. • • •. ");
fe=i
1G7
^1* • * * " &р ^1" ^ ^2"
Лх + if< (1 - е)2~; Л*<(4-)-Т при А: =?1, л; О < е< 1.
Положим
Fk{\\ . . .Лк~\ ?\ Б*+\ •
•, Iя) =
h | .2 ly^+ lkek -f x j, если 1 < k < р,
h I 2 БЧ/ + lfte* + x | , если р + 1 < k < п,
. '/** /
где ?fe = ?fe-Hmfe- Функция Fk вещественных переменных |ь • • •, In,
i\h принадлежит классу С°° для О^т^^б,
||2|''ег||<2 а и голоморфна в %к для 0<r|fe<C&.
||2 |rer|J<2a, и в частности, когда
Г
U4<a(l-e); | 6" | < а(1 - е); | БЧ < - а(гф
Л
Ф 1, п)',
Ф
r)i - 0 при }фк\ 0<---< Ь, если ?-1 или л;
1 8
О< ~~~- < Ь, если кф.\,п.
е
Они совпадают друг с другом при |еЛ;
А =" ||: I I1 I < а (1 - е),
||я|<а(1-е); | V \ < -^а(г Ф 1, л)}.
Применяя лемму 2.1 относительно переменных
дщ Щ-, -г. о
1 - е 1 - е е
мы находим, что fi и /2 имеют аналитическое продолжение в образе
