Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
ствует голоморфная в f функция S(?, г), совпадающая с f в окрестности
точки ?. Для каждого действительного ре (0,1) f р и, следовательно,
существует функция f, голоморфная в S(?, г) и совпадающая с fP в
окрестности точки ?. Определяя ftp] как
(у)-
мы видим, что /[Р] определена и голоморфна в pS(?, г) и совпадает с f в
окрестности точки р?. Пусть ее(0,1) достаточно мало, так что (1-е)<р^1 =
>р?е связная компонента nnS(?, г), содержащая ?. Тогда для (1- е)<р<1
hР] /[i](z)
в окрестности точки р?, и поэтому f[P]=f[i] в связной области pS(?,
f)0S(^, г). Повторяя такие же рассуждения, после замены
S(?, г) на ^1 - -^mS(?, г) и ? на^1 -
/ Е \т f Р \ т
найдем, что для (1-е)П--------------\ <р<П---------- j
в
pS(?, r)n(l-^-)m5(e(r).
Отметим, что если 0<pi<p<p2^l, то
Pi5(?> 'ОПр*^, r)CpS(?, г).
Отсюда следует, что
/[pi] (*) = /[Рг] (Z) В Р15 (С, г) П р25 (?, г)
всякий раз, когда последнее пересечение не пусто. Этим определяется
функция ф, голоморфная в звездообразной области
U pS(C, Г).
0<р<1
Функция ф совпадает с / в окрестности точки ?, следовательно также в
(связном) пересечении области Q и области
U РS(C,r),
О <р< 1
а / и ф определяют одну голоморфную функцию в объединении этих двух
областей.
Оболочка голоморфности области Q относительно ёГ определяется конечными
цепочками полидисков. Для каждой цепочки С мы можем применить изложенное
рассуждение и построить индуктивно содержащую Ф звездообразную
относительно 0 область Qc, такую, что для каждой /еёГ существует функция
/с, голоморфная в Q и равная f в fi. Этим определяется функция /,
голоморфная в
S3 = U ,
с
такая, что каждый элемент, порожденный /, является элементом
аналитической функции /. Оболочкой голоморфности области Q относительно
еГ является, следовательно, область Q.
§ 4. Голоморфные функции и обобщенные функции
Пусть /-функция, голоморфная в области D= {z = x+iy?C": || х|| <а, ||
у || < Ь, у?С],
где С - открытый связный непустой конус в Rn (с вершиной в 0), не
содержащий О-
154
Определение 1.1. Считаем, что f стремится к См-
функции h в вещественном открытом множестве Аа{х : \\х\\<а} в смысле §
(Л), если каждая производная Daf функции [(|а|^0) расширяется до
непрерывной функции в множестве D]i}{z\y=Q, х^А) и имеет своим
ограничением на А функцию Dah.
Определение 2.2. Мы говорим, что f стремится к обобщенной функции Т в
вещественном открытом множестве A cz{x: ||х||<а} в смысле ЗУ (А), если
для каждой <ре2)(/?") с носителем в Л и для каждого компактного
подмножества К в С интеграл
j7(*-f ipy)(f(x)dx сходится к <Т, ф> равномерно относительно у^К при
р-"-0 (р>0).
Из известных свойств обобщенных функций (см. работу [6, т. 1]) следует,
что тогда сходимость будет также равномерна относительно ЗЬ(А) в
ограниченном множестве пространства 3)(А) и что определение 2.2
эквивалентно следующему определению:
для каждого достаточно малого е>0 и каждой <pi=S)(/?n) с носителем в {х:
||х||<е}/>)<ф стремится к Т^кф в &Д = {х1=Л : d(x, <ЭД)>е} в смысле
?{гА). Здесь представляет собой функцию, определяемую в
{z = x+iy\\ х\\ < а - е, || у || < Ь, у?С)
следующим образом:
/*Ф(х + к/) = Ш*-*'"1- 1 У) Ф (х') dx'.
Она, очевидно, голоморфна в указанной области.
Лемма 0. Пусть f - функция, голоморфная в
{z = x + h/: [| х || < а, || у || < Ь, у?С},
где С - открытый связный непустой конус, не содержащий 0. Если f
стремится к 0 в вещественной окрестности нуля в смысле3)'(W), то [=0.
Доказательство. Существует такое число r>0, г<Ь, что для всех достаточно
малых е>0 и всех фей)(/?п) с носителем в {х: ||x||< е}, [>)<ф стремится к
0 в множестве х : ||х||<2 г в смысле <§({*: Н*Н<2 г}). Мы покажем, что
для всех таких ф, /•)(-ф=0. Действительно,
155
йусть г/е?, \\y\\<r, X - фиксированное число с ||x||<r, и рассмотрим
функцию одной комплексной переменной
Ф(Я) = f^.(f(x + Ky) (Я?(Д).
Это - голоморфная функция от Я в {Я: 1тЯ>0, |Я|<1+т|(т|>0)}, т. е. в
полидиске. Кроме того, она стремится к 0 в вещественных точках. Применяя
принцип симметрии Шварца (или теорему Пенлеве), мы находим, что ф=0. В
частности, f^<p(x+iy) для всех х+\у, таких, что \\х\\<г, \\у\\<г, у^С.
Следовательно, она равна нулю во всей ее области определения.
Аналитические функции, имеющие своими граничными значениями обобщенные
функции
Теорема 2.3. Пусть f - функция одной комплексной переменной, аналитична в
области (=х + п/ : \х\<а, О<у<Ь}. Необходимым и достаточным условием для
того, чтобы f стремилась к обобщенной функции Т в (-а, а) в смысле Sb' (-
а, а) при у-*-0 является следующее условие: для каждого действительного
г<а (г>0) существуют целое число р и константа М (обе зависящие от г),
такие, что
\f(x + iy)\ <
для всех х, у, удовлетворяющих |х|^г, 0<у^.с, где с -некоторое
фиксированное число, 0<с<6.
Теорема 2.4. Пусть f - функция одной комплексной переменной, аналитична в
полосе {г:0<г/<1}. Для того чтобы / стремилась к обобщенной функции
умеренного роста Т в вещественных точках в смысле S^'iR), необходимо и
