Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
(?', я')-риманова область. Существует естественное отображение %
пространства Е в Е' (которое может определяться, например, при помощи
цепочек, сводящихся к одному полидиску). Это отображение взаимно
однозначно, так как функции из Л{Е) отделяют точки пространства Е. Более
того, f=f ° % для каждой f^td(E) и я' ° /=я. Легко проверить, что область
(Е\ я') действительно является максимальным голоморфным расширением
области (Е, я), т. е. ее оболочкой голоморфности. При помощи аналогичного
метода можно определить оболочку голоморфности римановой области (Е, я)
относительно некоторого класса еГ, если этот класс отделяет точки
пространства Е.
Риманова область (область в Сп соответственно), которая сама является
оболочкой голоморфности, называется римановой областью голоморфности
(соответственно областью голоморфности).
150
Пусть Й - область голоморфности. Для любого заданного счетного плотного
подмножества {г^} к=/ ее границы можно построить функцию, аналитическую в
й и неограниченную в любой .окрестности каждой из точек Zj(j^I). В
качестве примера этого свойства рассмотрим область D в С(tm), оболочкой
голоморфности которой является другая область йс~Сп. Пусть ЭЛ -
аналитическое подмногообразие, регулярно вложенное в О, ЯЛП йфф. Тогда
если А является подобластью области ЯЛ, которая представляет собой
аналитическое расширение ЭКПД то мы должны иметь Лс=й ПЯЛ, так как мы
можем выбрать подмножество {zj}/?j так, чтобы оно содержало плотное
подмножество из дй П ЯЛ (см. работу [28]). Это свойство будет весьма
полезным в дальнейшем.
Отметим, наконец, что голоморфная в римановой области (Е, я) функция f не
принимает новщх значений в оболочке голоморфности (Ея') области (Е, я).
Действительно, допустим, что расширение f функции f в (Е', я') может
принимать новое значение а. Тогда функция (f - а)~1 будет аналитической в
(Е, я) и не может быть непрерывной в (?', я).
Теорема о непрерывности
Пусть {zr}r=i;2,... - последовательность точек в Сп, сходящаяся к точке
z°°. Пусть {Z? (г) }r==i, 2,... - последовательность относительно
компактных областей в С(tm), сходящаяся к относительно компактной области
Д(оо)с: с~С°° в следующем смысле: 1) для каждого р>0 мы можем найти такое
Д что для каждого r>N D(r)p"Z> zdD(<x>); 2) для каждого р>0 мы можем
найти такое N, что для каждого r^>N
(dD(r))pZ)dD(00) и dD(r)<Z{dD(оо))р.
Пусть й - область голоморфности в Сп+т, такая, что zTXD(r)czQ для всех г
и z°°XdD(оо)с:Й. Тогда г°°Х X Д (оо) сгй.
Доказательство этой теоремы следует из леммы Кар-тана-Туллена и принципа
максимума (см., например, работы [4, 23]). Данная здесь формулировка
теоремы не является самой общей. За подробностями мы отсылаем читателя к
цитированным работам.
151
Другая теорема о непрерывности, принадлежащей Бремерманну [29],
сформулирована в гл. 3.
Не существует общего метода поиска оболочки голоморфности области в Сп.
Ответ известен для некоторых случаев, с которыми мы будем встречаться.
Один из наиболее важных ответов задается следующей теоремой.
Теорема о выпуклой трубе
Оболочкой голоморфности связной открытой трубы в Сп является ее выпуклая
оболочка.
Определение. Трубой в Сп является такое множество Е, что E+Rn - E.
Другими словами, Е имеет вид
Е= {z = х -f- iy'.y^S],
причем S - некоторое подмножество в О.
Здесь мы имеем пример, когда оболочкой голоморфности некоторой области в
Сп является другая область в Сп. Подобные примеры будут даны в следующем
параграфе.
§ 3. Звездообразные области
Область DczCn является звездообразной относительно точки а, если a+p{D-
a)c:D для каждого действительного р, удовлетворяющего условию 0<р^1.
Пусть D\ и D2 - две области, звездообразные относительно начала 0. Если
Ое/Д, то область /ДПОа связна (она, очевидно, звездообразна относительно
0).
Доказательство. Если 0е?Д, то для каждого z^Cn существует р(0<р^1),
такое, что pz^Di. Допустим, что D\ П ?>2 несвязна: она является тогда
объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств ?Д и
которые звездообразны относительно 0. Мы имеем
А С U - А ПА = AU А,
0<р"1 р
А. 2 = U -А, 2;
0<р<1 р
А и А открыты и имеют непустые пересечения с ?>2-Они не пересекаются, так
как если существует
152
z ^ Qi П ^2 , то должно существовать также действительное число р(0<р^1),
для которого pzeQiflS^ - = Ф. Поэтому D2 несвязна, что противоречит нашим
гипотезам.
Теорема 2.2.Если область Q в Сп звездообразна относительно точки а,
содержащейся в Q, то оболочка голоморфности области П представляет собой
область, звездообразную относительно а.
Доказательство этой теоремы может быть найдено в книге Бохнера и Мартена
[21]. Мы дадим здесь, однако, другое доказательство ввиду его важности
для наших целей.
Пусть Q - область в Сп, звездообразная относительно 0 и содержащая 0.
Пусть & - класс голоморфных в Q функций, таких, что если /есТ", то /Р для
каждого ре(0,1), где fр (z) = f (р, г). Пусть $(?, г) - полидиск, такой,
что и что для каждого /еёГ суще-
