Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
одну (n +1) -точечную о. з. ф., для которого это свойство имеет место.
Для этой цели рассмотрим опережающие (п+1)-циклы, которым соответствуют
обычные опережающие функции.
Пусть S0 - ячейка из 5п+ь определяемая как (s :s3-> >0, lsS/s^n). (Это,
очевидно, ячейка, так как определяющие неравенства означают: s}>0, если
0е/, и Sj<0, если 0е/.) Мы можем проверить, что
rs°(x)= 2 0 (яга, я (га- 1))0(я(га- 1), я (га- 2)),. .
Я
Jt0=0
. . ., 0 (я1, 0) (Q, |Лял (^лп) , [Ля (п-1) (хя ("_!)) > [ . . . , [Ля1
(*",), Ло(-Хо)] . • . . ]]] й),
где 0(/, k) =0(х/-х\). Аналогичная формула справедлива для
регуляризованных функций гу°(х).
Поскольку замена функций Вайтмана (регуляризованных функций Вайтмана
соответственно) усеченными функциями Вайтмана (регуляризованными
усеченными функциями Вайтмана) не затрагивает вакуумных средних "кратных
коммутаторов", то она также не меняет
о. з. ф. (соответственно регуляризованные о. з. ф.).
Штейнмановские оркестры
Множество (ra +1) -точечных о. з. ф. разделяется на подмножества,
называемые штейнмановскими оркестрами. Штейнмановским оркестром является
множество
таких о. з. ф. rs, что переменные Sj(j~ 0 я) имеют
фиксированный знак в S. Например, штейнмановский оркестр, полученный
приписанием знаков So<0, si> >0..... s">0, содержит только один член -
"опере-
130
жающую функцию", которую мы обозначали (соло!).
В случае четырехточечных функций существуют также оркестры с четырьмя
членами (штейнмановские квартеты); в случае пятиточечных функций
существуют оркестры с 18 членами и т. д. Наше обсуждение относительно
тождеств Штейнмана показывает, что эти тождества порождаются специальными
тождествами (с четырьмя членами), в которых возникают только члены одного
штейнмановского оркестра. Действительно, накладываемые на X и У условия в
§ 1 запрещают X, СХ, У и СУ иметь только один элемент.
§ 2. Штейнмановские стрелки и носители о. з. ф.
Настоящий параграф посвящен изложению некоторых аспектов подхода
Штейнмана к о. з. ф. Этот метод оказывается полезным для изучения
носителей о. з. ф., хотя и не дает все эти функции. Кроме того, он
приводит к полному описанию четырехточечных о. з. ф. Мы предположим, что
произведения полевых операторов могут умножаться свободно на 0-функции.
Пусть Ф - произведение полевых операторов, умноженное на с-функции (в
частности, на произведение 0-функций):
Ф = h (xlt, . . . , xlp) Alp (Xtp) . . . Aip (Xip). (1.2)
Определим для j^ii,..., iP
AJ(xJ)fO = h^Q(jfiI-jfit)Atx(x). • •
r=l '
• • ' \A] i.xj)y Air (ЛЧ,-)] • • • Alp iXip)
и
Л,(*;)|Ф = -А2 0(д$ -x°)Ah(x.t). . .
r=l r
• • • jAj(Xj), Air(xir)] . . . Alp(x.lp).
Это определение благодаря линейности расширяется на случай выражений Ф,
которые являются конечными линейными комбинациями выражения вида (1.2).
Мы будем писать сокращенно
1 f2ф ... 'fn вместо A1(xl)fA2(x2)\ ... \Ап{хп) и т. д. Очевидно, что
(A}.(xj) f - Aj(xj) |)Ф = [Aj(x), Ф],
5* 131
или, в сокращенной форме,
(/1 - / Ф) Ф = [/" Ф]-
Воспользуемся также обозначениями 0(/, &) = 0(*° - л°),
0(/г, п - 1, /г - 2, . . . , 0) =
= 0(/г, л - 1)0 (п - 1, п - 2) . . . 0 (1, 0)
и т. д.
Операции со стрелками обладают следующими свойствами:
1. Стрелки одного направления коммутируют:
1 ф 2 ф Ф=2 f 1 f Ф.
Доказательство (символическое!):
2!Ф = 20(2, /) . . . [2, }],
/
1 f 2 f Ф -- 2 6 (1 > 0 (2, /) • ¦ .12, Л - • .11, *]...+
+ 2(0(2, л0(1, /)• • • [2,[1, Л1 • • • +
/
+ 0(2, /)9(1, 2). . . [[1, 2], /] . . . Воспользуемся тождеством
0(1, 2)0(2, у)+ 9(2, 1)0(1, Л = 0(1. Л0(2, Л-
Доказательство тождества: левая часть может быть переписана, как
0(1, /)0(2, /)10(1, 2)+ 0(2, 1)] = 0(1, Л0(2, Л-
Последний член может быть переписан следующим образом:
2(0(2, /)0(1, Л • • ."2, [1,Л1 + [П. 2], Л)* • • +
/
+ 0(1, Л0(2, 1). . . Ц2, 1], Л . . . }.
В силу тождества Якоби [[1, 2], /] = [1,[2, /']] - - [2[ 1, /]]. Это
новое выражение получается из первоначального выражения заменой 1 на 2 и
2 на 1. Это и доказывает наше утверждение.
2. /| и /| дифференциалы (в алгебраическом смысле).
132
3. If2=2fl (очевидно).
Замечание. Употребляемые здесь обозначения не совпадают с
штейнмановскими: мы предпочитаем пользоваться операторами, действующими
налево.
Мономы Штейнмана
Нас будут интересовать мономы Штейнмана. Они являются выражениями вида
0$1$2$...$ге (и такими переставленными выражениями), где $ обозначает f
или |. Рассмотрим сначала ref (/г-l)f...fO. Для ге=1 это
1 f 0 = 0 (4 - Х°0) [А! (*), А0 (*")] = <?"
(опережающее произведение). Мы увидим, что это верно для всех ге. Для
этой цели рассмотрим
re f 0(ге - 1, ге - 2, . . . , 0)[ге - 1, [я - 2, [ • • •
Я-I
• • • , [1, 0], . . . ]]] = 2 в(ге, /)И-1, I • • •
/=о
• • • , [[я, л. [/-1. [ • • . , [1, 0], . . . ]]] . . . ]].
Пользуясь тождеством Якоби [[ге, /], Ф] = [ге, [/, Ф]] - - [/. К Ф]] и
производя перегруппировку членов, мы получим:
0(я> я 1, . . . , 1, 0)[re, [re-1, [ . . . , [1, 0], . . . ]]]+
+ 5 [ге-1, [..., [ге, [/, [/-1, [ . . . , [1, 0], . . .]]]...
