Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
коммутативность приводит к тому, что все переставленные функции Вайтмана
являются граничными значениями одной и той же голоморфной функции (см.
работу [5] и гл. 3). Мы не занимаемся этой проблемой, поскольку нас
интересуют только аналитические свойства в р-про-странстве. Источником
этой аналитичности будут свойства носителя в дс-пространстве. Для того
чтобы получить эти свойства, нам придется умножать функции Вайтмана на 0-
функции. Отсюда и возникают серьезные
119
трудности *. Отметим, однако, что все свойства, полученные в настоящем
параграфе, справедливы без всяких изменений и для регуляризоваиных
функций Вайтмана Ж?, для которых законно умножение на 0-функ-цин. Мы
предположим, что можно умножать также обобщенные функции Жп на 0-функции,
и что свойства, полученные для регуляризоваиных функций Жу,
распространяются на случай Жк ; как будто мы можем найти предельную
процедуру, в которой ф,-vfi(x), и соответствующие произведения Ж1 с 0-
функциями имеют пределы в смысле пределов обобщенных функций. Некоторые
другие замечания относительно пока нерешенной проблемы строгого
определения обобщенных запаздывающих функций сделаны ниже.
Циклы
Рюэль ввел символы (я, а), где я - перестановка чисел (0, 1,..., п), а
от- последовательность чисел от1,..., ап, ог3=± 1. Вместо (я, о) пишут
также (я0^я1^...^ =^яя), где между nk и n(k-1) стоит знак >, если о* - 1,
и если ak= - 1. Этим символам могут быть сопоставлены взаимно однозначно
подмножества ^-пространства (или g-пространства), определяемые следующим
образом:
\x'.g (xnh хя(?_j)) 0, 1 k ^ п\
или
{g:o*gf<0, \<k<n\.
(Их можно рассматривать как (га-И)-симплексы сим-плициального комплекса.
Это и объясняет выбор названия "цикл", употребляемого в дальнейшем. Мы не
будем рассматривать эту точку зрения, а только сошлемся на работу Рюэля,
часть которой, к сожалению, не опубликована.)
* В формулировке Боголюбова Н. Н. мы имеем дело с вариационными
производными токов, обладающими свойствами запаздывания (или опережения).
Поэтому подобные трудности не появляются. - Прим. ред.
120
Для целей настоящих лекций мы определяем цикл как формальную линейную
комбинацию символов (я, а) вида
(где Yn+i - группа перестановок чисел (0, 1, ..., и) и е(<т) = ст',...,
ап), обладающую следующими свойствами: если я и я' отличаются друг от
друга только одной транспозицией
я'= яО, я1, . . . , я(р+1), яр..........ЯП,
(Топологическое определение циклов допускает более общие циклы, которые
мы не будем рассматривать.)
Мы положим:
По предположению это - обобщенная функция, инвариантная относительно
трансляций, т. е. обобщенная функция в g-пространстве. Аналогично (одиако
строгим образом) мы определяем (я, o)Wv (х). Каждому циклу мы
соответственно сопоставляем обобщенную функцию умеренного роста:
Преобразование Фурье обобщенной функции F(x), инвариантной относительно
трансляций, имеет вид F(p)=b(po + - +pn)f(p), где / - обобщенная функция
на линейном подпространстве {/>: р0+... + рп = 0}, которое мы теперь
будем называть импульсным пространством (р-пространство по-прежнему
обозначается #4(п+1>). Импульсное пространство является дуальным к ?-про-
2 "К)(я, О
^п+1
я = яО, я1
яр, л(р+ 1), . . . , ЯП,
то
2 8(0 (Я, <УЯ)Ж(Х) я
и
28Ю(я>
я
121
странству н f - преобразование Фурье обобщенной функции в g-пространстве,
определяемой F. Мы будем называть комплексным импульсным пространством
подмногообразие С4, определяемое следующим образом:
[к = (&о> • • • I ^я);^о + • • • + кп - 0}.
Будет удобно пользоваться также переменными k0,..., kn в комплексном
импульсном пространстве (хотя, например, k\, kz,..., kn могло бы быть
множеством неза' висимых переменных).
Теперь мы введем специальный класс циклов, которым соответствуют
обобщенные запаздывающие функции. Для этой цели мы рассмотрим в
пространстве Rn+l всех ("+1)-кратных последовательностей (s0,sn) л-мерное
линейное подпространство 2п+ь определяемое как {s : s0 + si + ... + sn =
0} (переменные Sj являются вспомогательными; читатели могут, однако,
рассматривать их как временные компоненты п+ 1 четырехмерных векторов с
нулевой суммой). Пусть I - непустое подмножество множества {0, 1,..., п}
с непустым дополнением С/. Для seSn+i положим
si ~ 2 sj~ sci •
/<=/
Аналогично для любого р в импульсном пространстве положим
Р] - 2 Pj - Per
Для каждого / уравнение Sj = 0 определяет гиперплоскость (содержащую 0) в
2"+ь Эти гиперплоскости разделяют 2п+1 на открытые конические ячейки: В
каждой ячейке для каждого I имеется определенный знак (так как Si не
обращается в нуль внутри ячейки). Множество всех ячеек будем обозначать
Sn+i-
Каждой ячейке 5еЕя+| сопоставляем цикл С8 следующим образом:
с*= 2 еЮ(я'ая)>
^УлЧ 1
где
CTsP = __ sign 2 8я1 _ Sign 2 saj в S.
/=/" У=о
122
Для того чтобы проверить, является ли, согласно принятому нами
определению, С8 циклом, рассмотрим две перестановки я и я', такие что
nj=n'j для j?=k или &+1 и nk=n'(k+l), n(k+l) =n'k. Очевидно, что для p^k
